Exponentialgleichung

12.05.2013, 19:22

Jator08

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Exponentialgleichung

Hallo, ich bräuchte bitte Hilfe bei den Exponentialgleichungen.

Aufgabe: 3^x + 3^x+1 = 7*2^x

Hab leider keinen Plan bei einer solchen Gleichung.
Ich kann nur solche wo nur auf einer Seite eine Hochzahl vorhanden ist, wie z.B. 5*3^x-2 = 135

Aber wo auf beiden Seiten eine Hochzahl vorkommt, weiß ich leider nicht wie das geht.
Könnt ihr mir bitte helfen?

12.05.2013, 19:30

Kasen75

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Hallo,

du könntest erstmal auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ ausklammern. Danach kann man weiter sehen.

Ich gehe übrigens von dieser Gleichung $\begin{eqnarray*} 3^x + 3^{x+1} = 7*2^x \end{eqnarray*}$ aus.

Grüße.

12.05.2013, 19:36

Jator08

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Wie ausklammern?

12.05.2013, 19:41

Kasen75

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O.K. Ich fange nochmal anders an.

Wie kann man $\begin{eqnarray*} 3^{x+1} \end{eqnarray*}$ denn noch schreiben ?

Hierzu das entsprechende Potenzgesetz: $\begin{eqnarray*} x^{a+b}=x^a \cdot x^b \end{eqnarray*}$

12.05.2013, 19:43

Jator08

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Okay ^^

3^x * 3^1

12.05.2013, 19:45

Kasen75

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Genau.

Es steht also da: $\begin{eqnarray*} 3^x+3 \cdot 3^x=7*2^x \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite ausklammern.

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12.05.2013, 20:01

Jator08

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Warum 3*3^x ?
Und was meinst du mit ausklammern?

12.05.2013, 20:08

Bürgi

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RE: Exponentialgleichung
Ich bitte vielmals um Entschuldigung, dass ich jetzt dazischenfunke, aber bevor sich alle hier einen Wolf rechnen:

@Jator08: Könnte es sein, dass Deine Gleichung

3^x + 3^x+1 = 9*2^x

heißt?

12.05.2013, 20:09

Kasen75

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Zitat:

Warum 3*3^x ?

Weil $\begin{eqnarray*} 3^{x+1}=3^x \cdot 3^1=3^x \cdot 3=3 \cdot 3^x \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Und was meinst du mit ausklammern?

Hier $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3^x+3 \cdot 3^x \end{eqnarray*}$ ist doch in beiden Summanden der Faktor $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ drin. Diesen Faktor kannst du jeweils rausziehen. Ich habe die 1 noch dazugeschrieben, damit es erstichtlicher wird (hoffentlich).

Vorher aber noch die Frage von Bürgi beantworten.

12.05.2013, 20:26

Jator08

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RE: Exponentialgleichung

Zitat:

Original von Bürgi
Ich bitte vielmals um Entschuldigung, dass ich jetzt dazischenfunke, aber bevor sich alle hier einen Wolf rechnen:

@Jator08: Könnte es sein, dass Deine Gleichung

3^x + 3^x+1 = 9*2^x

heißt?

Nein, es steht 7*2^x

12.05.2013, 20:28

Jator08

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Zitat:

Original von Kasen75

Zitat:

Warum 3*3^x ?

Weil $\begin{eqnarray*} 3^{x+1}=3^x \cdot 3^1=3^x \cdot 3=3 \cdot 3^x \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Und was meinst du mit ausklammern?

Hier $\begin{eqnarray*} 1 \cdot 3^x+3 \cdot 3^x \end{eqnarray*}$ ist doch in beiden Summanden der Faktor $\begin{eqnarray*} 3^x \end{eqnarray*}$ drin. Diesen Faktor kannst du jeweils rausziehen. Ich habe die 1 noch dazugeschrieben, damit es erstichtlicher wird (hoffentlich).

Vorher aber noch die Frage von Bürgi beantworten.

Achso, ok.
3^x * (1+3)

12.05.2013, 20:30

Kasen75

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Genau.

Jetzt kannst du erstmal die Klammer ausrechnen.

12.05.2013, 20:44

Jator08

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3^x *(4)

12.05.2013, 20:57

Kasen75

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Ok.

Somit ist die Gleichung jetzt: $\begin{eqnarray*} 4 \cdot 3^x=7 \cdot 2^x \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden.

Dafür gehen wir mal Stück für Stück vor. Wir werden gleich noch die Rechenregeln des Logarithmus auf den Exponenten anwenden. Aber erstmal die Faktoren.

Es gilt $\begin{eqnarray*} log(a\cdot b)=log(a)+log(b) \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite ist $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=3^x \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite ist $\begin{eqnarray*} a=7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2^x \end{eqnarray*}$

Wie sieht also die Gleichung aus, wenn man auf beiden Seiten logarithmiert ?

$\begin{eqnarray*} log(4 \cdot 3^x)=log(7 \cdot 2^x) \Rightarrow \ldots \end{eqnarray*}$

12.05.2013, 21:05

Jator08

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Okay, wir haben das logarithmieren mit ln gelernt. Wäre dann:

ln4 + x*ln3 = ln7 + x*ln2

12.05.2013, 21:13

Kasen75

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Zitat:

Okay, wir haben das logarithmieren mit ln gelernt.

Das geht auch. Es geht in diesem Fall mit jedem Logarithmus jeglicher Basis.

Die Umformung ist auch richtig. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} \ln(4) + x*\ln(3) = \ln(7) + x*\ln(2) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} ln(4) \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite bringen und $\begin{eqnarray*} x *ln(2) \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite der Gleichung bringen.

DANACH kannst du auf der linken Seite $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ausklammern.

12.05.2013, 21:22

Jator08

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$\begin{eqnarray*} x*ln(3)-x*ln(2)=ln(7)-ln(4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x*[ln(3)-ln(2)] \end{eqnarray*}$

12.05.2013, 21:26

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} x*[ln(3)-ln(2)]=ln(7)-ln(4) \end{eqnarray*}$

Soweit, so richtig.

Jetzt nach x auflösen.

12.05.2013, 21:28

Jator08

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$\begin{eqnarray*} x=ln(7)-ln(4)/[ln(3)-ln(2)] \end{eqnarray*}$

12.05.2013, 21:38

Kasen75

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Da die rechte Seite im Prinzip ein Bruch ist, bei der $\begin{eqnarray*} ln(7)-ln(4) \end{eqnarray*}$ der Zähler ist, muss noch eine Klammer drum.

$\begin{eqnarray*} x=[ln(7)-ln(4)]/[ln(3)-ln(2)] \end{eqnarray*}$

Aber sonst stimmts.

Du kannst jetzt x als konkrete Zahl ausrechnen.

Man kann, wenn man will, sowohl Zähler als auch Nenner noch anders schreiben, denn es gilt: $\begin{eqnarray*} ln(a)-ln(b)=\ln \left( \frac{a}{b} \right) \end{eqnarray*}$

Auch mit dieser Darstellung sollte man zum gleichen Ergebnis kommen.

Was bekommst du denn jetzt für x raus ?

12.05.2013, 21:42

Jator08

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x = 1,38
Danke smile

smile

12.05.2013, 21:43

Jator08

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Achso, kennst du dich hiermit aus? Bzw. gibt es dafür einen eigenen Mathematica Bereich?

Logistisches Wachstum

12.05.2013, 21:47

Kasen75

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Gerne.

smile

Freut mich, dass es jetzt dann doch so gut geklappt hat.

Falls du eine Probe machst, solltest du ein paar mehr Nachkommastellen verwenden. Bei Exponentialgleichungen können kleine Abweichungen schon sehr viel ausmachen.

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