Asymptotische Varianz und Effizienz

12.05.2013, 20:40	misterl	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptotische Varianz und Effizienz Hallo, ich habe folgende Aufgabe gegeben: Seien $\begin{eqnarray} X_1,\ldots ,X_n \end{eqnarray}$ i.i.d. mit $\begin{eqnarray} E(X_1) = \mu \neq 0, \; Var(X_1) = 1 \operatorname{ und } E(X_1^4) < \infty \end{eqnarray}$ . Der Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ sei unbekannt. Außerdem seien zwei Schätzer für $\begin{eqnarray} \mu^2 \end{eqnarray}$ gegeben durch: $\begin{eqnarray} T_1(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i^2 -1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_2(X) = \bar{X}^2 - \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_2 \end{eqnarray}$ asymptotisch normalverteilt sind und berechnen Sie deren asymptotische Erwartung und Varianz. b) Berechnen Sie die asymptotische Effizienz von $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} T_2 \end{eqnarray}$ c) Zeigen Sie, dass die asymptotische Effizienz von $\begin{eqnarray} T_1 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} T_2 \end{eqnarray}$ nicht größer ist als 1, falls die Verteilung von $\begin{eqnarray} X_1 - \mu \end{eqnarray}$ um 0 symmetrisch ist. Meine Ideen: a) Die asymptotische Erwartung habe ich beidesmal zu $\begin{eqnarray} \mu^2 \end{eqnarray}$ bestimmt, was sich ganz plausibel anhört. Bei der asymptotischen Varianz hänge ich jedoch, denn ich erhalte jedesmal einen Term mit E(X^4) und komme dann nicht weiter, z.B. so: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} Var(T_2(X)) = \lim_{n \to \infty} (E(T_2^2) - E(T_2)^2) = \lim_{n \to \infty} (E(\bar{X}^4 - \frac{2}{n} \bar{X}^2 + \frac{1}{n^2}) - \mu^2) = \lim_{n \to \infty} E(\bar{X}^4) - \mu^2 \end{eqnarray}$ Kann man diesen Term nun weiter umschreiben mit den gegeben Sachen? Ich weiß doch nur, dass diese vierte Potenz endlich sein soll... Oder muss hier ein weiterer Schätzer für das vierte Moment herangezogen weden? Außerdem soll gezeigt werden, dass die Schätzer asymptotisch normalverteilt sind. Sind dafür die Voraussetzungen des Zentralen Grenzwertsatzes zu prüfen? Ich habe hier ja nur einen Schätzer gegeben und keine Folge von Zufallsvariablen, daher war ich da etwas zurückhaltend. b) In diesem Fall müsste die Effizienz mit $\begin{eqnarray} e(T(X)) = \frac{1}{I(\vartheta) \cdot Var(T(X))} \end{eqnarray}$ zu bestimmen sein (schließlich sind die Schätzer erwartungstreu), so dass ich dafür erst die Varianz berechnet haben muss. c) Hier ist natürlich das gleiche Problem wie bei der b) Viele Grüße, misterl
17.05.2013, 11:53	misterl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, hat denn niemand eine Idee? Im Großen und Ganzen lässt sich das Problem ja auf die Frage reduzieren, wie man $\begin{eqnarray} Var(X^2) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} Var(\overline{X}^2) \end{eqnarray}$ berechnet oder auch $\begin{eqnarray} E(X^4) \end{eqnarray}$ . Ich komm da absolut nicht weiter, weil wir nur Beispiele hatten, wo man mal $\begin{eqnarray} Var(X) \end{eqnarray}$ brauchte, aber halt nicht quadratisch... Viele Grüße, misterl

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