C^k-Räume

12.05.2013, 22:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
C^k-Räume Meine Frage: Hallo, in der Analysis-Vorlesung haben wir folgendes definiert: $\begin{eqnarray} \text{Sei } \Omega\subseteq\mathbb{R}^n\text{ offen. }C^k(\Omega):=\{f:\Omega\to\mathbb{R}\|\text{ f ist stetig und }\partial_if:\Omega\to\mathbb{R}\text{ existiert und ist stetig für alle }i\in\{1,...,n\}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{ij}f:\Omega\to\mathbb{R}\text{ existiert und ist stetig für alle }i,j\in\{1,...,n\},\text{ ... }, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{i_1i_2...i_k}f:\Omega\to\mathbb{R}\text{ existiert und ist stetig für alle }i_1,i_2,...,i_k\in\{1,...,n\}\}. \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray} C^k(\Omega):=\{f:\Omega\to\mathbb{R}\|\partial_{i_1i_2...i_k}f:\Omega\to\mathbb{R}\text{ existiert und ist stetig für alle }i_1,i_2,...,i_k\in\{1,...,n\}\}. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das heißt doch, dass ich zeigen muss, dass bei einer k-mal stetig differenzierbaren Funktion auch alle kleineren partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, oder? Jetzt haben wir in der Vorlesung auch schon folgenden Satz bewiesen: $\begin{eqnarray} \text{Sei }\Omega\subseteq\mathbb{R}^m\text{ offen}, x_0\in\Omega\text{ und }f:\Omega\to\mathbb{R}\text{ differenzierbar in }x_0.\text{ Dann gilt: f ist stetig in }x_0. \end{eqnarray}$ Also ist eine differenzierbare Funktion stetig. Aber das ist doch dann eigentlich schon die Lösung der Aufgabe, oder nicht? Muss ich da jetzt noch was anderes zeigen, oder reicht es, das mit diesem Satz zu begründen? Das kommt mir nämlich ein bisschen zu einfach vor... Für Hinweise wäre ich sehr dankbar!
13.05.2013, 09:43	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn eine Funktion k-mal partiell differenzierbar ist, dann muss sie offensichtlich auch (k-1)-mal partiell diffbar und stetig sein. Deswegen muss $\begin{eqnarray} C^k(\Omega)\subset C^{k-1}(\Omega) \end{eqnarray}$ gelten. Daraus lässt sich mit vollständiger Induktion deine Behauptung zeigen.
16.05.2013, 11:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab es jetzt mal versucht: $\begin{eqnarray} \text{Zu zeigen ist: }C^k(\Omega)\subset C^l(\Omega)\quad\forall l\in\{0,...,k-1\}. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Induktionsanfang k=1: }C^1(\Omega)\subset C^{1-1}(\Omega)=C^0(\Omega) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Induktionsvoraussetzung: }C^k(\Omega)\subset C^l(\Omega)\quad\forall l\in\{0,...,k-1\}\text{ gelte für k.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Induktionsschritt: }k\to k+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C^{k+1}(\Omega)\subset C^k(\Omega)\subset C^l(\Omega)\quad\forall l\in\{0, ..., k-1\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow C^{k+1}(\Omega)\subset C^l(\Omega)\quad\forall l\in\{0, ..., k\} \end{eqnarray}$ Stimmt das so?

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