Isoperimetrische Ungleichung

13.05.2013, 13:41

Sway

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Isoperimetrische Ungleichung

C ist die Menge aller regulären Kurven

$\begin{eqnarray*} c(t) = (x(t),y(t)) : [0,1] -> \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c(0) = (-1,0), c(1) = (1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(t) \geq 0 \end{eqnarray*}$ in [0,1].

Sei L die Länge der Kurve $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ , A der Flächeninhalt des Gebietes, welches von c und der x-Achse berandet wird.

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} L^2 \geq 2\pi A \end{eqnarray*}$ und für welche Kurve gilt die Gleichheit?

Also anschaulich habe ich Anfangs- und Endpunkt dieser Kurve, beide auf der x-Achse, aber die Kurve kann jetzt natürlich ziemlich weit nach "oben" gehen oder?

Die isoperimetrische Ungleichung sagt: $\begin{eqnarray*} L[c]^2 \geq 4\pi A \end{eqnarray*}$

Das sieht ja schon ganz gut aus, aber wie führe ich das in meine Kurve über? Ich weiß, die Kurve ist regulär, aber außer den zwei Punkten nicht sehr viel...kann somit nicht Länge und Fläche explizit berechnen...

Hat jemand eine Idee für mich?

13.05.2013, 22:43

Che Netzer

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RE: Isoperimetrische Ungleichung
Du kannst die Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ an der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse spiegeln und erhältst eine Kurve der Länge $\begin{eqnarray*} 2L \end{eqnarray*}$ , die eine Fläche mit Inhalt $\begin{eqnarray*} 2A \end{eqnarray*}$ eingrenzt. Wende darauf die isoperimetrische Ungleichung an.

14.05.2013, 18:34

Sway

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Toller Gedanke, vielen Dank!!!

Bei der isoperimetrischen Gleichung gilt Gleichheit genau dann, wenn c ein Kreis ist. Dann dürfte das in diesem Fall auch die Antwort sein, oder kann ich das noch genauer beschreiben?

14.05.2013, 18:42

Che Netzer

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Naja, wann ist denn diese Kurve mitsamt ihrer Spiegelung ein Kreis?
D.h. für welche Länge existiert eine Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , für die die Gleichheit gilt und welche ist das?

14.05.2013, 21:58

Sway

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Jetzt hat sich, glaube ich, wieder ein Denkfehler meinerseits eingeschlichen:

Wende ich deinen vorherigen Vorschlag an, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} (2L)^2 \geq 4\pi 2A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4L^2 \geq 8\pi A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L^2 \geq 2\pi A \end{eqnarray*}$

Stimmt so oder? Aber gilt das dann nicht nur für die "doppelte Kurve"??

Wenn c ein Kreis sein soll, dann ist der Radius 1 und die Länge 2Pi und die Fläche Pi, ergibt:

$\begin{eqnarray*} (2\pi)^2 = 2\pi^2 \end{eqnarray*}$

Da gilt aber nicht die Gleichheit...sorry unglücklich

unglücklich

, dann müsste ich ja wieder 2A hernehmen oder?

Wo hänge ich?

14.05.2013, 22:03

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Stimmt so oder? Aber gilt das dann nicht nur für die "doppelte Kurve"??

Die Ungleichung gilt einfach.
Was meinst du damit, dass sie für die "doppelte Kurve" gelten soll?

Zitat:

Wenn c ein Kreis sein soll

Wie soll $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein Kreis sein, wenn es eine Kurve von $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ ist?

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14.05.2013, 22:23

Sway

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Naja, dass die Ungleichung jetzt für die Kurve und deren Spiegelung gilt...und nicht für die Kurve alleine? Aber gut, viel. muss sie das auch nicht, die Ungleichung muss ja passen oder?

Alles andere klingt logisch, aber ich habe ja bereits die Formeln für den Kreis verwendet, dann kann ich die Fläche ja nicht noch verdoppeln...

Ich glaub, ich steh auf der Leitung!

14.05.2013, 22:37

Che Netzer

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Wie gesagt: Die Ungleichung gilt einfach. Sie gilt nicht für irgendetwas.
Mit $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ wurde in der Aufgabenstellung die Länge von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ bezeichnet; mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Fläche, die $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse einschließt.

Welches Problem siehst du nun?

14.05.2013, 22:53

Sway

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Ich komme nicht auf das richtige Ergebnis:

Es ist $\begin{eqnarray*} L = 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \pi \end{eqnarray*}$

Soll zeigen $\begin{eqnarray*} L^2 = 2\pi A \end{eqnarray*}$

Habe aber: $\begin{eqnarray*} (2\pi)^2 = 2\pi \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4\pi^2 = 2\pi^2 \end{eqnarray*}$

Wende ich die isoperimetrische Formel darauf an, stimmt die Gleichung, aber das L^2 nicht mehr...

14.05.2013, 23:10

Che Netzer

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Wieso ist $\begin{eqnarray*} L=2\pi \end{eqnarray*}$ ?

14.05.2013, 23:21

Sway

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Das ist doch die Formel für die Länge des Kreises:

$\begin{eqnarray*} L = 2\pi r \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 23:28

Che Netzer

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Aber $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ ist wie gesagt die Länge der Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ .
Und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ kann kein Kreis sein.

14.05.2013, 23:36

Sway

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Hm, aber c soll doch ein Kreis sein oder?

Heißt das ich muss die Gleichung erst auflösen?

$\begin{eqnarray*} L^2 = 2\pi^2 \end{eqnarray*}$

Aber wenn ich die Fläche weiß, dann weiß ich doch auch die Länge... unglücklich

unglücklich

14.05.2013, 23:42

Che Netzer

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Wieso sollte $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ein Kreis sein?
$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist ja nichteinmal eine geschlossene Kurve.

14.05.2013, 23:51

Sway

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Zitat:

Original von Che Netzer
Naja, wann ist denn diese Kurve mitsamt ihrer Spiegelung ein Kreis?
D.h. für welche Länge existiert eine Kurve $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ , für die die Gleichheit gilt und welche ist das?

c ist ja kein Kreis, aber ich muss doch auf diese Gleichheit kommen...und bei der isoperimetrischen Ungleichung gilt Gleichheit ja genau dann, wenn c ein Kreis ist...und deshalb will ich dahin oder?

Was verstehe ich jetzt falsch?

14.05.2013, 23:53

Che Netzer

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Nein, $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist hier keine (!) geschlossene Kurve.
Worauf haben wir die isoperimetrische Ungleichung angewandt?
Was muss für Gleichheit ein Kreis sein?

15.05.2013, 00:01

Sway

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Auf c und die Spiegelung haben wir die Ungleichung angewandt.

Wir haben das mit der Ungleichung mitdefiniert: Gleichheit gilt genau dann, wenn c ein Kreis ist!

15.05.2013, 00:24

Che Netzer

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Dieses $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ aus eurem Satz ist allerdings ein anderes als das, das wir betrachten.
Wir haben die Ungleichung auf die Kurve angewandt, die sich ergibt, wenn wir $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und dessen Spiegelung betrachten.

Achte darauf, zwei Dinge nicht als gleich anzusehen, nur weil sie an verschiedenen Stellen zufällig denselben Namen haben.

Also: Welche Kurve muss ein Kreis sein, damit wir $\begin{eqnarray*} (2L)^2=4\pi\cdot(2A) \end{eqnarray*}$ haben?

15.05.2013, 16:24

Sway

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Ich glaub, ich habs kapiert:

$\begin{eqnarray*} 2L = 2\pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2A = \pi \end{eqnarray*}$

Und damit stimmt die Gleichung dann...stimmts?

15.05.2013, 16:38

Che Netzer

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Ja.
Damit die Gleichheit gilt, muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ zusammen mit seiner Spiegelung einen Kreis ergeben und deshalb muss $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ der eindeutig bestimmte Halbkreis mit Länge $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sein.

15.05.2013, 16:47

Sway

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So macht alles Sinn! Ich dank dir tausend Mal, vor allem für deine Geduld Augenzwinkern

Augenzwinkern

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