Ableitung beweisen Induktion?

13.05.2013, 14:29

Skyrider21

Ableitung beweisen Induktion?

Meine Frage:
Hey, ich soll folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{j} }{dx^{j}}\left(\frac{e^{x}-1 }{x} \right) |_{x=0} = \frac{1}{j+1} \end{eqnarray*}$ für j aus den Natürlichen Zahlen mit der 0.

Meine Ideen:
Ich wollte es mit Induktion versuchen, jedoch habe ich Probleme bei x = 0 bei der 0.ten Ableitung, da das ja nicht definiert ist...Auch bei den j.ten Ableitungen bleibt im Nenner ja eine Potenz von x stehen, was an der Stelle 0 ja wieder nicht definiert ist etc.

Kann mir jemand helfen? Oder bin ich an sich mit Induktion auf dem Holzweg?

Vielen Dank schon mal.

13.05.2013, 16:14

lgrizu

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Die 0-te Ableitug ist einfach die Ausgangsfunktion, man kann mit der Induktion aber auch bei j=1 beginnen. Prinzipiell sollte Induktion kein Problem sein.

Die Funktion ist an der Stelle 0 nicht definiert, deshalb an dieser Stelle auch nicht differenzierbar, weshalb sich mir der Sinn der Aufgabe nicht erschließt. Vielleicht schreibst du die Aufgabe einmal wortwörtlich ab, wie du sie bekommen hast.

13.05.2013, 16:19

original

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RE: Ableitung beweisen Induktion?

Zitat:

Original von Skyrider21
ich soll folgendes zeigen: traurig

$\begin{eqnarray*} \frac{d^{j} }{dx^{j}}\left(\frac{e^{x}-1 }{x} \right) |_{x=0} = \frac{1}{j+1} \end{eqnarray*}$ für j aus den Natürlichen Zahlen mit der 0.
.

weder $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{e^{x}-1 }{x} \end{eqnarray*}$

noch deren Ableitungen sind an der Stelle x=0 definiert
also dort schon gar nicht diffbar traurig

was du aber untersuchen könntest sind die möglichen Grenzwerte für x-> 0

so ist zB:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f'(x) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

usw

sorry..
lgrizu ist ja mal wieder schneller - bin weg

13.05.2013, 18:29

Skyrider21

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Ja das habe ich mir auch gedacht, dass sie an der Stelle x = 0 nicht definiert ist.

Zitat:

Original von original
Vielleicht schreibst du die Aufgabe einmal wortwörtlich ab, wie du sie bekommen hast.

Ich habe es genau so abgeschrieben, wie es in der Aufgabenstellung war.Aber ich werde es jetzt mal probieren, wie original das gemacht hat, mit dem lim und versuch das so zu lösen, mal sehen. Wink

Nur bin ich mir noch nicht sicher, wie ich den lim zeigen soll.

13.05.2013, 20:18

lgrizu

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Wie weit bist du denn?

13.05.2013, 20:29

Skyrider21

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Nunja ich habe jetzt einmal probiert die 1. Ableitung zu bilden:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{e^{x}x - 1\left(e^{x}-1 \right) }{x^{2} } <br /> \end{eqnarray*}$
nur wie mache ich jetzt weiter bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \end{eqnarray*}$ ?

13.05.2013, 20:35

lgrizu

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Zum Beispiel mit l Hospital......

13.05.2013, 20:45

Skyrider21

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Ohman genau danke. Hammer

Das wäre dann also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{xe^{x} + e^{x} - e^{x}}{2x} \end{eqnarray*}$
Nochmals angewandt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{xe^{x} + e^{x} + e^{x} - e^{x}}{2} = \frac{0 +1-1+1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

So jetzt mach ich mich dann mal an den Induktionsschritt.

13.05.2013, 21:18

Skyrider21

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Irgendwie steh ich auf dem Schlauch verwirrt

(Sollte es vllt für heute gut sein lassen Big Laugh

)
Ich glaube aber, dass man das nicht so umformen kann, wie ich das mache:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{d^{j+1}}{dx^{j+1}}\left(\frac{e^{x}-1 }{x} \right) = \frac{d^{j}}{dx^{j}}\frac{d}{dx}\left(\frac{e^{x}-1 }{x} \right) <br /> \end{eqnarray*}$

Aber die j+1-te ableitung wäre doch die Ableitung der j-ten Ableitung oder?

13.05.2013, 21:45

lgrizu

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Jap, die j+1-te Ableitug ist die Ableitung der j-ten Ableitung.

13.05.2013, 22:30

Skyrider21

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Aber wie mache ich jetzt weiter? ich kenne weder die j-te Ableitung der 1. Ableitung noch die 1. Ableitung der j-ten Ableitung von der Funktion.

15.05.2013, 15:14

Skyrider21

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Hat da noch jemand eine Idee?

16.05.2013, 15:31

lgrizu

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RE: Ableitung beweisen Induktion?
Du kannst zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{d^j}{dx^j} \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x-1}{x} \right) \end{eqnarray*}$ betrachten, die erste Ableitung bilden und den Ausdruck so umformen, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst.

Du kannst auch einen allgemeinen Ausdruck für die n-te Ableitung "raten" und dann beweisen, dass sie so ausschaut.

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