Extremwertaufgaben

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13.05.2013, 15:01	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben Meine Frage: Hallo. Kann mir jemand erklären wie ich bei Extremwertaufgaben am besten vorgehen soll?? Kenne mich diesbezüglich leider nicht aus....Ein Beispiel wäre dass Einer Kugel mit dem Radius R soll der volumengrößte Drehzylinder(r,h) eingeschrieben werden. Wie sind dessen Abmessungen zu wählen? Meine Ideen: Ich weiß dass man Neben- und Hauptbedingung aufstellen muss...aber leider verfranze ich mich dabei auch immer....wäre toll wenn mir jemand die Basics zu diesem Thema erklären könnte!!! Danke Euch im voraus! MfG MArina
13.05.2013, 15:04	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Hallo, 1. Die Hauptbedingung enthält die Variable, die extremal werden soll. Was ist das in Deinem Fall? 2. Die Nebenbedingungen stellen Einschränkungen dar, die ebenfalls beachtet werden müssen. Welche sind das in Deinem Fall? EDIT: ... muss für heute weg Vieleicht hilft Dir jemand anderes(?)!
13.05.2013, 16:13	HAB	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben zu 1. V soll extrem werden. Wie hängt V von r und h ab? Da V von zwei Variablen r und h abhängt, muss eine der beiden durch die andere berechnet werden. zu 2. Dies geschieht in der sog. Nebenbedingung. Setzt man jetzt dies in die Hauptbedingung ein, so hängt V nur noch von einer Variablen ab. Das Maximum dieser Funktion lässt sich nun mit Hilfe der Ableitung ermitteln. Um die beiden Bedingungen zu finden sollte man sich in diesem Fall eine Skizze machen:
16.05.2013, 10:11	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Hallo! Die HB wäre: V=r²(Pi)h Die NB weiß ich leider nicht....
16.05.2013, 13:49	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Hallo, 1. Deine HB ist richtig. 2. Nimm die Skizze von HAB: Die halbe Höhe des Zylinders, der Radius des Zylinders und der Radius der Kugel (<-- der bleibt konstant!) formen ein rechtwinkliges Dreieck. Du kannst also eine Beziehung zwischen h und r aufstellen. 3. Löse die Geichung aus 2. nach r² auf und setze diesen Term (für r²) in Deine HB ein. Du hast dann eine Funktion V, die nur noch von h abhängig ist. Jetzt kannst Du den Extremwert ermitteln.
16.05.2013, 16:13	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben also ist die NB: r:h/2=h:R stimmt das so??
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16.05.2013, 16:14	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben ne blödsinn.....die NB ist: r²+h/2²=R²
16.05.2013, 22:33	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Fast! Du musst unbedingt Klammern benutzen, weil sich sonst sehr leicht Rechenfehler einschleichen: r²+(h/2)²=R²
19.05.2013, 10:38	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben ok, dann bringe ich es auf r²=R²-(h/2)² und setze das in die HB ein: V(x)= R²-(h/2)²Pih Die konstanten Faktoren R² und Pi kann ich ja weglassen oder? Somit wären die beiden Ableitungen V´(x)= 4h^(-5) und V´´(x)=-20h^(-6) stimmt das soweit??
19.05.2013, 20:00	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Nein. Ich hatte Dir ja schon einmal empfohlen, Klammern zu setzen, hier sind sie notwendig: V(h)=(R²-(h/2)²)Pih Das ergibt: V(h)= R²h-Pi/4 h^3 Und nun, weils besser lesbar ist in Latex: $\begin{eqnarray} V(h)= R^2 \cdot h- \frac{\pi}4 \cdot h^3 \end{eqnarray}$ Und jetzt ableiten .... etc. ...
20.05.2013, 09:34	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Ich verstehe nicht wie du darauf kommst V(h)= R²h-Pi/4 h^3?? Da fehlt doch ein Pi oder?? Ich komme, wenn ich Klammern benutze auf V(h)= R²hPi-Pi/4h³
20.05.2013, 09:51	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben So, abgeleitet (mit dem weglassen konstanter Faktoren) ergibt: V´(h)=1-3h² V´´(h)= -6h hoffe das stimmt soweit, habe nämlich \pi und R weggelassen, da diese ja konstant sind.
20.05.2013, 10:24	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Guten Morgen, 1. Du hast natürlich recht, ich habe ein pi unterschlagen. 2. Die berichtigte Funktionsgleichung heißt: $\begin{eqnarray} V(h)= \pi R^2 \cdot h- \frac{\pi}4 \cdot h^3 \end{eqnarray}$ 3. Bei der Ableitung bleiben konstante Faktoren erhalten. (Vielleicht hast Du das damit verwechselt, dass konstante Summanden bei der Ableitung null ergeben(?)) 4. Zur Kontrolle: Deine erste Ableitung sollte so aussehen: $\begin{eqnarray} V'(h)= \pi R^2 - \frac{3 \pi}4 \cdot h^2 \end{eqnarray}$ 5. Und nun nach allen Regeln der Kunst den Extremwert bestimmen.
20.05.2013, 10:37	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben ok,genau, also die konstanten Faktoren nicht ableiten, oder?? dann ist die zweite Ableitung V´(h)= R²Pi-6Pi/4*h richtig??
20.05.2013, 10:46	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Stimmt nicht ganz! $\begin{eqnarray} \pi R^2 \end{eqnarray}$ ist ein konstanter Summand und wird deshalb in der zweiten Ableitung null.
20.05.2013, 10:58	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben also ist die zweite Ableitung V´´(h)= -6Pih/4 und weshalb muss man es null setzen?? als Ergebnis bekomme ich für h: $\begin{eqnarray} \sqrt{R²4/3} \end{eqnarray}$ auf r komme ich aber leider nicht. Habe h in die NB eingefügt somit sieht es so aus: r²=R²-( $\begin{eqnarray} \sqrt{(R²4/3)/2} \end{eqnarray*}$ )² leider weiß ich nicht wie ich da weiterrechnen soll...
20.05.2013, 11:11	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben 1. Die 2. Ableitung stimmt! 2. Mit der ersten Ableitung bestimmst Du die Steigung des Funktionsgraphen an einer Stelle. Nun haben die Graphen in den Extrempunkten eine horizontale Tangente, deren Steigung null ist. Und genau das drückst Du mit der Gleichung V'(h) = 0 aus. 3. Dein Wert für h ist richtig. Zur Berechnung von r² brauchst du aber h²: $\begin{eqnarray} r^2= R^2- \frac14 \cdot h^2 \end{eqnarray}$ 4. Bestimme r² und anschließend r.
20.05.2013, 11:14	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben ok, ein Teil erledigt! Das mit r² bekomme ich nicht hin...
20.05.2013, 11:20	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Due hattest mir geschrieben, dass Du als Ergebnis $\begin{eqnarray} h=\sqrt{\frac43 \cdot R^2} \end{eqnarray}$ hattest, d.h.: $\begin{eqnarray} h^2=\frac43 \cdot R^2 \end{eqnarray}$ Diesen Term für h² setzt Du in die Gleichung zur Berechnung von r² ein: $\begin{eqnarray} r^2= R^2- \frac14 \cdot h^2~\implies~r^2= R^2- \frac14 \cdot \frac43 \cdot R^2 \end{eqnarray}$ Berechne r.
20.05.2013, 11:26	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben r=Wurzel aus 2/3*R
20.05.2013, 11:27	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben r= $\begin{eqnarray} \sqrt{2/3} \end{eqnarray}$ *R so sieht es besser aus =)
20.05.2013, 11:35	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben ... und es stimmt! Übrigens aus praktischen und ästhetischen Gründen würde man das so schreiben: $\begin{eqnarray} r = \frac13 \cdot R \cdot \sqrt{6} \end{eqnarray}$ (Du weißt schon: Rationalmachen des Nenners ) EDIT: ... und weg!
20.05.2013, 11:38	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben ok, super, dann wäre das Beispiel ja fertig=) Danke dir vielmals!!
20.05.2013, 11:43	MarinaP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben Achja, Kontrolle, h in die 2. Ableitung einsetzen ergibt ein Maximum, also richtig=) Dankeee

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