Suche Mittelpunkt zu unbekannten Punkten mit geg. Tangentialwinkeln |
| 13.05.2013, 17:06 | Fifty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Suche Mittelpunkt zu unbekannten Punkten mit geg. Tangentialwinkeln Bitte das Bild im Anhang dazu ansehen. Die orange gekennzeichnete Linie soll eine Kreisbahn darstellen, zu der ich den Mittelpunkt und Radius suche. Gegeben sind zwei Punkte an den Enden des Kreisbahnausschnitts. Der eine Punkt hat die Koordinaten (0;0), der andere (x;-20), wobei x unbekannt ist. Des weiteren habe ich zwei Winkel Alpha (15°) und Beta (30°) gegeben, die jeweils die Tangente der Kreisbahn mit zwei parallelen Geraden einnimmt. Diese Geraden haben den Abstand a=80. Mit diesen Angaben ist eine Kreisbahn definiert. Meine Ideen: Meine Idee ist bisher, zwei Geraden f und g zu finden, die durch die beiden Punkte gehen und senkrecht zu den Tangenten stehen. Deren Schnittpunkt ergibt den Mittelpunkt. Gerade g war nicht schwer: g=-(1/tan(Beta))*x Die Steigung der Geraden f ist entsprechend -1/tan(Alpha) Was mir nun fehlt, ist der y-Achsenabschnitt für die Geradengleichung. Hat jemanden eine Idee, wie ich diesen ermittle, bzw. eine andere Idee, wie ich auf den Mittelpunkt komme? Grüße, Fifty |
||||||
| 13.05.2013, 21:46 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Um an die fehlende Koordinate des zweiten Punktes zu gelangen, kannst Du das besondere Dreieck BMA und seine Lage im Koordinatensystem betrachten: [attach]30065[/attach] Die Situation bei Punkt A habe ich noch vergrößert dargestellt, damit es keine Mißverständnisse gibt: [attach]30066[/attach] M läßt sich dann entweder über den von Dir beschriebenen Geradenschnittpunkt oder unter Nutzung geeigneter Hilfsdreiecke bestimmen. In Deiner Frage schreibst Du a=80, vermutlich ein Tippfehler? Edit opi: Achtung! Die Zeichnungen passen nicht zum Aufgabentext, s.u. |
||||||
| 13.05.2013, 22:51 | Fifty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zunächst Danke für deine Antwort. a=20, es war ein Tippfehler. Du stellst das Problem richtig dar, allerdings brauche ich eine exakte, algebraische Lösung. Bisher habe ich den Punkt durch Iteration herausgefunden. Kannst du mir sagen, welches Programm du dafür genutzt hast? Vielleicht hilft mir das ja weiter. Grüße, Richard |
||||||
| 13.05.2013, 23:43 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welchen Punkt meinst Du hier? Mit meinem Ansatz lassen sich sowohl Punkt B, der y-Achsenabschnitt der Geraden g und M exakt bestimmen. Für diese eklige Rechnung habe ich mein CAS bemüht, wolframalpha wird's sicher auch können. Die Zeichnung habe ich mit GeoGebra erstellt. |
||||||
| 14.05.2013, 00:37 | Fifty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Leider wird mir nicht klar, wie du auf eine Lösung kommst. Durch Iteration habe ich den Mittelpunkt ermittelt. Ich habe mit Excel einen Punkt auf der Ursprungsgeraden gesucht, bis sich meine Randbedingungen erfüllen |
||||||
| 14.05.2013, 00:56 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
man kann´s auch ganz einfach in ca. 3 zeilen machen 
dann bekommt man für den gesuchten kreis elementar zu bestimmen hatte ich keine lust mehr wiimeronegewer
|
||||||
| Anzeige | ||||||
|
|
||||||
| 14.05.2013, 01:37 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die drei-Zeilen-Lösung kann ich leider nicht ganz nachvollziehen, besonders der Punkt M ist mir schleierhaft. 
Mein Lösungsweg ist von der x-Koordinate des Punktes B abhängig. Nach Klärung der Winkel im Dreieck BMA läßt sich diese über das rote Dreieck einfach berechnen: [attach]30073[/attach] Eine hübsche und kurze Formel habe ich leider nicht parat.
|
||||||
| 14.05.2013, 02:20 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hallo opi: am einfachsten sieht man das zeug, wenn man den kreis (in gedanken) nach O verschiebt. dann hat der eine punkt A die y - koordinate und B womit man sofort den radius r des kreises hat wegen . nun steht ja der radius senkrecht auf die tangente in A = O(0/0) und damit hat man ohne rechnung die oben angegebenen koordinaten von M es gibt ja 2 lösungen. ich habe die geometrie der anfangsaufgabe hergenommen. sowie |
||||||
| 14.05.2013, 02:37 | Fifty | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank Euch beiden 
Riwe, nach genau dieser Antwort habe ich gesucht. Deine Lösung stimmt sehr gut mit meinen iterativen Werten überein. Hatte bisher einen Radius von genau 200 verwendet. Dementsprechend hatte ich für M die Koordinaten (-100;-173,205). Jetzt bin ich glücklich
|
||||||
| 14.05.2013, 07:36 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ist ja eher umgekehrt: deine iteration paßt (sehr) gut zur exakten lösung
etwas übersichlicher: |
||||||
| 14.05.2013, 23:15 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nachtrag:
Der Schleier hat sich gelichtet. Ich hatte eine andere Zuordnung von Koordinaten - Steigungen vorgenommen als im Eingangspost beschrieben ist und bekam deshalb einen anderen Mittelpunkt.
Dummerweise hatte ich dann auch noch diese Bemerkung so interpretiert, als würde meine Skizze stimmen.
|
||||||
|
|
