Ungleichung beweisen?

13.05.2013, 18:14

WildTown

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Ungleichung beweisen?

Hallo liebes Forum,

ich habe etwas Probleme damit Ungleichungen zu beweisen. Nun habe ich zwei Aufgaben die dieses Thema ansprechen, deshalb würde ich solch ein Beweisverfahren gerne richtig anwenden können. Hier beziehe ich mich nur auf eine. Die folgende Aufgabe ist ein Teil von Majorantenaufgaben bezüglich Reihen. Ich denke aber hier soll ich einfach nur stumpf beweisen.^^

Überschrift)Majorantenkriterium: Die Reihe

$\begin{eqnarray*} S_{n}:= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{\alpha } } \end{eqnarray*}$

divergiert für $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,1) \end{eqnarray*}$

1) Beweise, dass für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \int_k^k+1\! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \leq \frac{1}{x^{\alpha }} \end{eqnarray*}$
gilt.

Ich muss hinzufügen, das bei der Obergrenze des Integrals k+1 steht und der Term der integriert werden soll, ebend nur 1/x^alpha ist (Hatte Probleme mit dem Formel-Editor).

Mich würde interessieren, wie ich an solchen Aufgaben rangehe? Was ist der einfachste und schnellste Weg Ungleichungen zu beweisen? Soll ich das Integral außerdem lieber berechnen ? Dann könnte ich ja einfach die Vollständige Induktion verwenden. Ich weiss jedoch nicht ob das der beste weg sei bei Ungleichungen. Und wenn ich mit vollständige Induktion beweise, muss ich dann den Grenzwert gegen Unendlich beider Seiten berechnen ? Da ja letztendlich immer eine Variable bleibt? Habe wirklich Probleme damit.

Was meint ihr ?

13.05.2013, 18:41

Che Netzer

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RE: Ungleichung beweisen?

Zitat:

Original von WildTown
$\begin{eqnarray*} \int_k^k+1\! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \leq \frac{1}{x^{\alpha }} \end{eqnarray*}$
gilt.

Das sollte wohl
$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\leq\frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$
heißen.

Das Integral solltest du lieber nicht direkt berechnen; schätze den Integranden lieber gegen sein Maximum auf dem Integrationsbereich ab und nutze die Monotonie des Integrals.

13.05.2013, 18:53

WildTown

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RE: Ungleichung beweisen?
Was meinst du damit, dass ich den Integranden gegen seinen Maximum auf dem Integrationsbereich abschätzen soll? Außerdem sagt mir die Monotonie bezüglich des Integrals nicht. Ich hab jetzt kurz mal nachgeschaut. Meinst du damit f(x) größer gleich 0 für alle x aus dem Intervallbereich? Daraus folgt das dann auch der Integrand größer gleich 0 ist. Was wird mir das aber bringen, wenn due Funktion größer als 0 ist? Er soll ja kleiner sein als der rechte Term. Bin leider noch etwas verwirrt.

Wir haben leider noch keine Integrale bis ins Detail angesprochen.

13.05.2013, 19:02

Che Netzer

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RE: Ungleichung beweisen?
Ich meine so etwas:
Gilt $\begin{eqnarray*} f(x)\leq g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in[a,b] \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \int_a^bf(x)\dx\leq\int_a^bg(x)\dx \end{eqnarray*}$ .
In diesem Fall solltest du $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac1{x^\alpha} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konstant wählen – nämlich $\begin{eqnarray*} g(x)\equiv\max_{\xi\in[k,k+1]}f(\xi) \end{eqnarray*}$ .

13.05.2013, 19:17

WildTown

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Tut mir leid zu nerven, aber ich weiss wirklich nicht das du mit max und konstant meinst bezüglich der Funktionen. Du musst wissen, dass wir sowas entweder noch nicht hatten oder ich nicht verstehe was du meinst.

lg

13.05.2013, 19:30

Che Netzer

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Ihr wisst weder was das Maximum noch das Supremum einer Funktion bzw. ihrer Werte ist.

Dann mal dir am besten ein Bild:

Hier am Beispiel für $\begin{eqnarray*} k=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha=2 \end{eqnarray*}$ .
Erkennst du, dass du die Fläche unter dem Graphen durch die eines geeigneten Rechtecks abschätzen kannst?

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13.05.2013, 20:02

Amplitude

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Sry, ich wurde durcheinander gebracht. Ja ich weiss, was das Maximum ist. Auch den Oberbegriff Supremum kenne ich. Habe irgendwie etwas anderes verstanden. Also versuchst du das zu beweisen, indem das Integral vom linken Term von k bis k+1 kleiner gleich ist als der linke Term vom selben Intervallsbereich?

13.05.2013, 20:04

Che Netzer

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Ist das ein Doppelaccount? geschockt

geschockt

Allerdings weiß ich nicht, was du mit

Zitat:

Also versuchst du das zu beweisen, indem das Integral vom linken Term von k bis k+1 kleiner gleich ist als der linke Term vom selben Intervallsbereich?

aussagen möchtest.
Welcher linke Term? Was ist ein "Term vom selben Intervallsbereich"?

13.05.2013, 20:13

Amplitude

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Ich hatte Probleme beim Accountzugriff, da ich mein Passwort nicht richtig eingegeben hatte und dachte ich hätte es vergessen. Ja ich weiss. Sehr tollpatschig für einen der sich öfters anmeldet.

Tut mir leid. Ich meine damit, das du ebend zeigen willst, dass das integral von f(x) in [k,k+1] kleiner ist als das Integral von g(x) in [k,k+1] bezüglich f(x) kleiner gleich g(x)

Mich würde noch interessieren weshalb keine vollständige Induktion verwendet werden sollte? Gibt es da Probleme, da ich zwei Variablen habe ?

13.05.2013, 22:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Tut mir leid. Ich meine damit, das du ebend zeigen willst, dass das integral von f(x) in [k,k+1] kleiner ist als das Integral von g(x) in [k,k+1] bezüglich f(x) kleiner gleich g(x)

Ja. Indem man den Integranden nach oben abschätzt, schätzt man auch das Integral nach oben ab.

Zitat:

Mich würde noch interessieren weshalb keine vollständige Induktion verwendet werden sollte? Gibt es da Probleme, da ich zwei Variablen habe ?

Der Induktionsschritt würde hier einfach nicht funktionieren.
Außerdem ist es einfacher, die Aussage direkt zu beweisen.

13.05.2013, 23:01

Amplitude

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Also soll ich einfach zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\leq\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

gilt.

Und wie tue ich das beweisen? Ich hatte bisher noch keine Ungleichung mit zwei Variablen. Denn ansonsten würde das ganze mich Vollständige Induktion einfach machbar sein.

13.05.2013, 23:04

Mulder

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Zitat:

Original von Amplitude
Ich hatte Probleme beim Accountzugriff, da ich mein Passwort nicht richtig eingegeben hatte und dachte ich hätte es vergessen.

Wenn sich das nun erledigt hat, bitte den oder die Account(s), die nicht mehr benötigt werden, hier zum Löschen freigeben. Mehrere Accounts sind nicht erwünscht.

13.05.2013, 23:06

Che Netzer

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RE: Ungleichung beweisen?

Zitat:

Original von WildTown
Meinst du damit f(x) größer gleich 0 für alle x aus dem Intervallbereich? Daraus folgt das dann auch der Integrand größer gleich 0 ist. Was wird mir das aber bringen, wenn due Funktion größer als 0 ist?

Damit hast du es doch eigentlich schon gezeigt.

Versuche es mal damit und bilde dazu eine geeignete Differenz.

13.05.2013, 23:22

Amplitude

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Hab einen Fehler entdeckt. Moment! Muss noch einmal Editieren.^^

15.05.2013, 02:07

Amplitude

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Wozu die Differenz. Worauf soll ich achten. Bzw. Was soll ich beachten?

mfg

15.05.2013, 07:57

Che Netzer

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Du kannst mit dem von dir zitierten Satz nur Aussage der Form $\begin{eqnarray*} ?\geq0 \end{eqnarray*}$ machen. Wir wollen aber eine Aussage der Form $\begin{eqnarray*} a\geq b \end{eqnarray*}$ .
Deshalb wählen wir $\begin{eqnarray*} ?=a-b \end{eqnarray*}$ , wollen $\begin{eqnarray*} ?\geq0 \end{eqnarray*}$ zeigen, um $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wieder auf die andere Seite bringen zu können.

Das Ziel ist folgende Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\geq\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx=\frac1{k^\alpha}\,. \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 14:55

Amplitude

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Ich habe eine Idee bekommen. Es muss jedoch immer der Betrag angeschaut werden. Ich weiss nicht ob das erlaubt ist aber zumindest denke ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin:

15.05.2013, 16:19

Che Netzer

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Die vorletzte Zeile ist mir völlig unklar.
Wieso streichst du da $\begin{eqnarray*} \frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$ zu Null und woher kommen denn die Betragsstriche?

15.05.2013, 18:15

Amplitude

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Wenn ich den Betrag von der der Ungleichung ansehe dann rechne ich auf der rechten Seite der Ungleichung 0 + dem Integral und das ist größer als Null, da ja bereits gezeigt wurden ist, dass das Integral selbst größer ist als 0. Der Pfeil soll veranschaulichen, dass für große k zahlen der Wert gegen 0 läuft.

Vielleicht ein ganz schwachsinnniger Anlauf, aber eine andere Methode das zu beweisen fällt mir derzeit nicht ein.

15.05.2013, 18:27

Che Netzer

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Was soll der Betrag einer Ungleichung sein und wieso siehst du ihn an?

Dass $\begin{eqnarray*} \frac1{k^\alpha}\to0 \end{eqnarray*}$ , ist hier aber völlig uninteressant.
Genauso gut könnte man sagen, dass $\begin{eqnarray*} -\frac1n\geq0 \end{eqnarray*}$ für großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

15.05.2013, 18:48

Amplitude

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Ich kann mit dem Monotoniekriterium nur zeigen, dass die linke Seite der Ungleichung größer ist als 0. Was bringt mir das? Ich kann doch gar keine Aussagen über den rechtern Term auf der rechten Seite der Ungleichung machen. Außer das diese größer gleich ist als die linke Seite der Ungleichung.

Ich habe den Betrag einfach genutzt, um nur die positiven Werte zu betrachten. Ist der Betrag eventuell schon richtig mehr oder weniger?

15.05.2013, 18:56

Che Netzer

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Du scheinst nicht gerade auf meinen Beitrag von 7:57 eingegangen zu sein.

Bringe
$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\geq\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx=\frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$
mal in eine Form, in der auf einer Seite ein Integral, auf der anderen Null steht.

Und wenn du zeigen möchtest, dass etwas nichtnegativ ist, ist es absolut unsinnig, zu zeigen, dass der Betrag nichtnegativ ist (das ist er immer).

15.05.2013, 20:16

Amplitude

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Wenn ich

$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\geq\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx=\frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

äquivalent umforme folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\ -\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx\geq 0 \end{eqnarray*}$

Was bringt mir das? Und weshalb soll ich das Integral bilden von 1/k^@

15.05.2013, 20:18

Che Netzer

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Dein @ soll wohl ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sein. Schreib das dann auch.

Das Integral von $\begin{eqnarray*} \frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$ solltest du schreiben, damit du nun beide Integrale zusammenfassen kannst (Linearität).

Im übrigen steht die Null auf der falschen Seite.

15.05.2013, 20:41

Amplitude

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Ich sollte mir sicher mal wieder die Betragsregeln anschauen. Sicher ändert sich die Vorzeichenrichung wenn subtrahiert wird?^^

$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\ -\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx\leq 0 \end{eqnarray*}$

Leider weiss ich nicht wie ich ein Integral zusammenfassen kann. Muss den nicht zunächst beides sieselbe Funktion sein?

15.05.2013, 21:28

Che Netzer

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Da habe ich selbst einen Fehler eingebaut und nochmal kopiert.
Eigentlich sollte es
$\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx{\color{red}\leq}\int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx=\frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$
heißen.

Jetzt kannst du das so umstellen, dass du ein $\begin{eqnarray*} \geq0 \end{eqnarray*}$ erhältst.

Wie du die Integrale zusammenfassen kannst, solltest du aber wissen.
Hat dir das Stichwort Linearität nicht weitergeholfen? Such mal danach.

15.05.2013, 22:31

Amplitude

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Es folgt also:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \int_k^{k+1}\frac1{k^\alpha}\dx-\int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\ \end{eqnarray*}$

Jetzt kann ich die Linearität anwenden? Ich les mich jetzt etwas durch, dass kann eventuell bisschen dauern, wenn es anspruchsvoll ist.

15.05.2013, 22:32

Che Netzer

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Ihr hattet in der Vorlesung sicher eine Formel für die Summe zweier Integrale mit gleichen Grenzen.

15.05.2013, 22:48

Amplitude

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Ich muss nochmal etwas fragen. Das Intervall von 0-1 kann ich sicher ignorieren, da sich das auf andere Aufgaben bezieht?

Überschrift)Majorantenkriterium: Die Reihe

$\begin{eqnarray*} S_{n}:= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{\alpha } } \end{eqnarray*}$

divergiert für $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0,1) \end{eqnarray*}$

1) Beweise, dass für alle natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \int_k^k+1\! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \leq \frac{1}{x^{\alpha }} \end{eqnarray*}$
gilt.

15.05.2013, 23:00

Amplitude

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Ich muss ja die Subtraktion von ,,f" und ,,g" bilden. Ich habe jetzt einfach versucht f-g zu berechnen. Im Internet habe ich noch nichts gefunden unter Linearität. Im Skript steht noch nichts, da wir erst demnächst die Integrale schnell abarbeiten

Mich würde jedoch interessieren was mit den Grenzen geschieht? Löst sich das Integral auf im Falle einer Subtraktion? Oder bleiben die enthalten und nur die funktionen werden miteiner subtrahiert?

16.05.2013, 07:12

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Ich muss ja die Subtraktion von ,,f" und ,,g" bilden.

Was sind $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Im Skript steht noch nichts, da wir erst demnächst die Integrale schnell abarbeiten

Wieso habt ihr dann jetzt schon eine Aufgabe mit Integralen?

Zitat:

Mich würde jedoch interessieren was mit den Grenzen geschieht?

Die bleiben beim Zusammenfassen der Integrale erhalten.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_k^k+1\! \frac{1}{x^{\alpha } } \, dx \leq \frac{1}{x^{\alpha }} \end{eqnarray*}$
gilt.

Und die Ungleichung steht wirklich genau so da?

16.05.2013, 08:43

Amplitude

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Mit f und g habe ich die zwei Integrale bezeichnet. Das hätte ich schon erwähnen müssen.
Eventuell gibt es eine Möglichkeit das anderes zu beweisen? Aufjedenfall weiß ich, dass wir noch keine Integrale hatten. Also ich kenn mich mit den Integralen schon aus (Substitution, PBZ, integrieren, Herleitung des Integrals), aber wenn es um Monotonie, der Linearität und ähnlichem geht, muss ich mir das Integral erst einmal intensiv anschauen.

Bezüglich meiner genannten Ungleichung. Da habe ich etwas falsch formuliert.

Es heißt natürlich $\begin{eqnarray*} \int_k^{k+1}\frac1{x^\alpha}\dx\leq\frac1{k^\alpha} \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 19:36

Che Netzer

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Da muss ich nochmal nachfragen:
Ihr habt in eurer Vorlesung die Integralrechnung noch nicht eingeführt, habt aber schon eine Aufgabe bekommen, in der ein Integral vorkommt?

D.h. deine Kenntnisse über Integrale sind nur die aus der Schule?
(wobei du da aber auch gelernt haben solltest, wie man die Summe zweier Integrale zusammenfassen kann)

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