e-Funktion: Zerfallsprozess - Textaufgabe |
| 13.05.2013, 16:23 | GreenSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| e-Funktion: Zerfallsprozess - Textaufgabe die Aufgabe, mit der ich zu tun habe, lautet: Eine Tasse ist gefüllt mit Kaffee, dessen Temperatur zu Beginn 70°C beträgt. Pro Minute sinkt die Temperatur des Kaffees um 4% (also um 2,8 °C, wie ich nach der Formel für den Prozentwert "P = Grundwert * p/100) ermittelt habe). Für den ersten Aufgabenteil soll die Exponentialfunktion T (t) = a * e^k*t verwendet werden, wobei T (t) die Temperatur in °C nach t Minuten angibt. t steht für die Anzahl der Minuten. a) Berechne, auf welche Gradzahl die Temperatur nach 1 Minute gesunken ist. Bestimme aus den gegebenen Daten die Konstanten a und k. Runde auf drei Nachkommastellen. Mein Ansatz: T (t) = 70 * e^2,8*1 Denn für k habe ich 2,8 °C gewählt, zumal der Kaffee minütlich um diese Temperatur abnimmt. Für t habe ich, wie in der Aufgabenstellung vorgegeben, die Anzahl der Minuten eingesetzt. Aber in der Aufgabenstellung steht ja, dass man die Konstanten a und k rechnerisch ermitteln soll? Leider habe ich hier gerade keine zündende Idee. Steht a nicht für die Ausgangstemperatur von 70°C und k für die Konstante, um die die Temperatur minütlich abnimmt, also um 2,8 °C? Herzlichen Dank für eure Hilfe! GreenSpirit |
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| 13.05.2013, 16:34 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: e-Funktion: Zerfallsprozess - Textaufgabe Dein Ansatz ist nicht richtig. 4% Abnahme bedeutet einen Abnahmefaktor Es gilt: , also: Daraus lässt sick k schnell ermitteln. |
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| 13.05.2013, 16:39 | GreenSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht immer noch um die schöne Filterkaffee-Aufgabe. Hier sind nun die Aufgabenteile b) und c). Herangezogen werden soll nun die Funktion T (t) = 75 * e^-0,045*t b) Berechne, wann die Temperatur noch 50 °C beträgt. Nun, gilt es hier nicht einfach t = 50 einzusetzen? T (50) = 75 * e^-0,045*50 = 7,904 Lautet die richtige Antwort also: Nach 7,9 Minuten? c) Berechne die Geschwindigkeit der Temperaturabnahme (in °C pro Minute) nach 10 und nach 30 Minuten. Was fällt auf? Interpretiere diese Ergebnisse im Sachzusammenhang? Für den Moment kann ich nur wieder in die Formel T (t) = 75 * e^-0,045*t einsetzen. t steht für die Anzahl der Minuten, während der der Kaffee am Abkühlen ist. Nach 10 Minuten: T (10) = 75 * e^-0,045 * 10 = 47,82 Die Temperatur scheint also nach 10 Minuten noch 47,82 °C zu betragen. Nach 30 Minuten: T (30) = 75 * e^-0,045 * 30 = 19,44 Nach 30 Minuten haben wir also wahrlich "kalten Kaffee", dessen Temperatur nur noch 19,44 °C beträgt. Doch was die Interpretation dieser Geschwindigkeitsabnahme anbelangt, benötige ich doch eure Hilfe. Freilich haben wir es hier mit einem exponentiellen Zerfallsprozess zu tun, und dieser Abnahmeprozess wird kontinuierlich beschleunigt. Doch einem Mathelehrer reicht diese Erklärung bestimmt noch nicht. Könnt ihr mir weiterhelfen? Abermals herzlichen Dank, Green Spirit |
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| 13.05.2013, 16:41 | GreenSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lieber Adiutor, wirklich sagenhaft, wie schnell und wie freundlich man hier Hilfe bekommt! Herzlichen Dank!!! Green Spirit |
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| 13.05.2013, 16:47 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
b) Die Gleichung lautet so: |
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| 13.05.2013, 17:38 | GreenSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es soll ermittelt werden, wann die Temperatur des Kaffees noch 50°C beträgt. Damit ich diesen Wert ermitteln kann, muss die Zeit (t) alleine stehen. Also muss man t isolieren und die Formel umstellen. Ich versuche mich einfach mal darin: t = (75*e^-0,045) : 50 Ist das so richtig? Herzlichen Dank! Green Spirit |
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| 13.05.2013, 18:20 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Du musst logaritmieren: |
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| 14.05.2013, 08:07 | GreenSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn wir den "logarithmus naturalis" als gemeinsame Basis wählen, dann fällt ja das e weg. Somit haben wir dann: ln (50/70) = - 0,045 * t Gefragt ist ja nun nach t, weswegen ich t isolieren muss: t = ln (50/70) : (-0,045) = 0,901 Ist nun die Antwort auf die Frage, wann die Temperatur des ursprünglich 70 °C heißen Kaffees nur noch 50 °C beträgt, also: Nach 9 Tagen. Oder hat sich da noch einmal der Fehlerteufel eingeschlichen 
.Liebe Grüße Green Spirit |
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| 14.05.2013, 08:25 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es muss lauten: (Minuten) Du hast 70 statt 75 verwendet. Tippfehler ? |
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| 14.05.2013, 19:47 | GreenSpirit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, es war ein Tippfehler. Ich bin mit der 70 und der 75 "ins Tüdeln" gekommen, da in den Aufgabenteilen b) und c) urplötzlich eine Funktionsgleichung verwendet werden sollte, in denen statt 70 die 75 stand. Liebe Grüße und Danke, Green Spirit |
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