Abschluss und innerer Kern einer Menge
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13.05.2013, 19:31 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
Abschluss und innerer Kern einer Menge
Meine Frage:
Hallo alle zusammen smile
Ich habe eine Aufgabe zum Abschluss und offenem Kern einer Menge M.
Es ist und (hierbei darf man das n frei wählen).
Nun soll man eine Menge M finden, sodass M, der offene Kern von M, der Abschluss von M, der Abschluss vom offenen Kern von M, der offene Kern vom Abschluss von M, der offene Kern vom Abschluss vom offenen Kern von M und der Abschluss vom offenen Kern vom Abschluss von M paarweise verschieden sind.

Meine Ideen:
Nun zu meiner Frage: Ich habe schon vieles ausprobiert, aber am Ende sind die Mengen nicht veschieden. Kann mir da jemand eine Tipp geben, welches n günstig wäre (ich habe es für n=1 versucht) oder ob es einen bestimmten Trick für so eine Aufgabe gibt?

Vielen Dank schon mal smile
13.05.2013, 19:38 nondatur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme nicht an dass das problem ist das n zu finden, ich denke das heißt eher dass das n beliebig ist Augenzwinkern

Wie sind denn Abschluss einer Menge und offener Kern einer Menge definiert?
13.05.2013, 19:41 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Ja, auch für lässt sich schon ein Beispiel finden.
Als kleine Anregungen: Betrachte mal und .

Edit: Hm, da habe ich zu lange zum Schreiben gebraucht.
Mit der Bemerkung, dass man auch Mengen vereinigen kann, die nur einen Teil der Voraussetzungen erfüllen, verschwinde ich dann hier.
13.05.2013, 19:43 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Danke für die schnellen Antworten smile

Ja, dass n darf man beliebig wählen, aber meine Frage war, ob es ein n gibt, bei dem es "leichter" ist, solche Mengen zu finden.

offener Kern: alle inneren Punkte von M
Abschluss: M vereinigt mit den Häufungspunkten von M

gut, dann versuche ich es mal damit smile
13.05.2013, 19:45 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
kann ich aus den beiden zwei Beispiele "basteln" oder ergeben die dann zusammen meine Lösung? smile
13.05.2013, 19:54 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Zitat:
Original von Che Netzer

Edit: Hm, da habe ich zu lange zum Schreiben gebraucht.
Mit der Bemerkung, dass man auch Mengen vereinigen kann, die nur einen Teil der Voraussetzungen erfüllen, verschwinde ich dann hier.


Welche Voraussetzung meinst du?
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13.05.2013, 19:55 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Na gut, ersetze "Voraussetzungen" durch "Anforderungen".
13.05.2013, 19:58 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Also, meinst du mit Voraussetzung oder Anforderung, Mengen die die Definition erfüllen?
13.05.2013, 20:39 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Ich komme beim offenen Kern vom Abschluss vom offenen Kern von M und bei Abschluss vom offenen Kern vom Abschluss von M nicht weiter, würde mir da jemand weiter helfen?
13.05.2013, 22:26 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Tja, der erste Antwortende scheint sich nicht mehr zu melden.
Mit welcher Menge bist du denn bisher am weitesten gekommen?
18.05.2013, 12:20 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Ich bin leider noch mit keiner Menge so richtig weit gekommen. unglücklich
Aber ich würde es gerne mit deinem Vorschlag aus deinem Beitrag verwenden, also die reelen Zahlen ohne Null und die rationalen Zahlen.
Ich scheitere nur gerade daran wie der innere Kern und der Abschluss von den rationalen Zahlen. Könntest du mir dabei weiterhelfen?
18.05.2013, 12:23 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Du meinst, du kannst den inneren Kern und den Abschluss von nicht bestimmen?
Ersteres ist die leere Menge, letzteres sind die reellen Zahlen (das sollte dir bekannt vorkommen).
18.05.2013, 12:32 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Finger1 stimmt, das kommt mir auch bekannt vor.
Aber ich komme jetzt nicht weiter, wie ich meine Menge M wählen kann, sodass sie die Voraussetzungen erfüllt. (Ich weiß nicht ob ich zu kompliziert denke oder etwas vergessen habe zu beachten...)
18.05.2013, 12:35 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Du hast jetzt folgende Mengen:
Die rationalen Zahlen.
Die reellen Zahlen ohne Null.

Wie sehen da jeweils die ganzen Abschlüsse und Kerne aus der Aufgabenstellung aus?
Welche sind jeweils verschieden?

Kannst du die für diese Verschiedenheit relevanten Eigenschaften herausfiltern und sie in einer Menge vereinigen?

Fehlt noch etwas?
18.05.2013, 12:46 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Also für die rationalen Zahlen:
-Kern: leere Menge , Abschluss: reellen Zahlen

Für die reelen Zahlen ohne Null:
-Kern: reelle Zahlen , Abschluss: reellen Zahlen vereinigt mit +,- unendlich

Die Abschluss wären verschieden.

Ist das soweit richtig?
18.05.2013, 12:48 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Nun ist aber auch noch nach dem Abschluss des inneren Kerns etc. gefragt.

Und der Abschluss von ist hier einfach ; wir bewegen uns ja in , nicht in .
Dein Kern von ist übrigens auch noch falsch.
18.05.2013, 12:52 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Ok, dann ist der Kern von den reellen Zahlen ohne Null wieder die reellen Zahlen ohne Null?
18.05.2013, 12:54 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Genau.

Und wie sehen nun die anderen Mengen aus?
D.h. Abschluss des Kerns etc.?
18.05.2013, 13:23 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Also:
Rationale Zahlen:
Kern: leere Menge, davon der Abschluss ist auch die leere Menge und der Kern davon ist auch die leere Menge
Abschluss: reelle Zahlen, Kern davon: reelle Zahlen, Abschluss davon: reelle Zahlen

Reelle Zahlen ohne Null:
Kern: reelle Zahlen ohne Null, Abschluss davon: reelle Zahlen , Kern davon: reelle Zahlen
Abschluss: reelle Zahlen (wie oben)
18.05.2013, 13:26 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Ja. Das sind ja schon jeweils drei verschiedene Mengen.
Jetzt bilde mal eine Menge, die die zentralen Eigenschaften beider Mengen beinhaltet.
18.05.2013, 13:31 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Vielleicht : reellen Zahlen vereinigt mit der leeren Menge
18.05.2013, 13:36 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Na das ist ja nun ziemlich sinnfrei smile

Du hast aber folgende Eigenschaften benutzt:
Einmal war die Menge dicht, hatte aber kein Inneres. Dazu brauchst du nicht die rationalen Zahlen auf der gesamten Zahlengerade, du kannst dich auch auf einen bestimmten Bereich einschränken.

Und einmal hatte deine Menge ein Loch. Hier kannst du dich auch auf eine kleinere offene Menge mit Loch einschränken.
18.05.2013, 13:43 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Stimmt Ups

Also ein neuer Versuch: {1,2,3} vereinigt mit (4,6)\{5}
18.05.2013, 13:45 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Das ist schonmal ein guter Ansatz.
Statt sollte aber auch reichen.
Wie sehen für diese Menge die ganzen Kerne etc. aus?
18.05.2013, 13:51 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Kern: (4,6)\{5}, Abschluss davon: [4,6], Kern davon: (4,6)
Abschluss: {1,2} vereinigt mit [4,6], Kern davon: (4,6), Abschluss davon: [4,6]
18.05.2013, 13:53 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Zitat:
Original von Papillon
Abschluss: {1,2} vereinigt mit [4,6]

Also gehst du von aus?

Naja, aber nun sind ja schon einige Kerne/Abschlüsse verschieden.
Bring jetzt noch etwas rationales in deine Menge.
18.05.2013, 14:00 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Wie meinst du das mit dem rationalen? Soll ich die Menge jetzt mit einer Menge vereinigen, die ein rationales Element enthält? verwirrt
18.05.2013, 14:01 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Was ich mit dem Stichwort "rational" meine, solltest du dir nun aber mal selbst überlegen. Was hatten wir denn vorher betrachtet?
18.05.2013, 14:03 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Die rationalen Zahlen hatten keinen Inneres, aber das hatte ich doch eigentlich schon drinnen (dachte ich). Was anderes fällt, mir dazu nicht ein unglücklich
18.05.2013, 14:04 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Aber für die rationalen Zahlen ist das Innere des Abschlusses nicht leer.
18.05.2013, 14:12 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Ja, stimmt.
Könnte die Menge vielleicht so aussehen: {1, (2,3)} vereinigt mit (4,6)\{5}
18.05.2013, 14:14 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Was ist denn ?
18.05.2013, 14:16 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
(2,3) vereinigt mit {1}
18.05.2013, 14:17 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Und wo kommt da ins Spiel, dass die rationalen Zahlen kein Inneres haben, aber dicht in liegen?
18.05.2013, 14:21 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Nirgendwo, weil da würde es ja einen inneren Kern geben...
Ich habe einfach keine Idee wie so ein etwas aussehen soll, dass kein Inneres hat aber trotzdem dicht in R liegt...
Muss ich denn zu meiner Menge nur etwas hinzufügen oder muss ich sie auch noch irgendwie verändern?
18.05.2013, 15:37 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Wie sieht denn deine Menge nun überhaupt sauber aufgeschrieben aus?
18.05.2013, 16:07 Papillon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
{1,2} vereinigt mit ((4,6\{5})
18.05.2013, 16:11 Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschluss und innerer Kern einer Menge
Dem musst du nur etwas hinzufügen.
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