Umformung - Binomialverteilung

13.05.2013, 21:24

Tipso

Umformung - Binomialverteilung

Hallo,

Ist hier meine Umformung richtig?

$\begin{eqnarray*} P(471 \geq x) = 1 - P(x<470) = 1 - P(x\leq469) \end{eqnarray*}$

Mit Stetigkeitskorrektur:
$\begin{eqnarray*} P(471 \geq x) = 1 - P(x<470) = 1 - P(x\leq470,5) \end{eqnarray*}$

lg

14.05.2013, 01:37

frank09

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RE: Umformung - Binomialverteilung
Bei der Binomialverteilung gibt es keine gebrochenen Werte für x. Die Stetigkeitskorrektur kommt erst bei der Approximation durch Normalverteilung zum Einsatz:

$\begin{eqnarray*} P(x<470)\approx \Phi (\frac{469,5-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 01:58

Tipso

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hi

hmm

Wie würdest du hier weiterformen?

$\begin{eqnarray*} P(471 \geq x) \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 14:53

frank09

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Wenn du $\begin{eqnarray*} P(x \geq 471) \end{eqnarray*}$ meinst, dann

$\begin{eqnarray*} P(x \geq 471) = 1 - P(x<471) \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 17:02

Tipso

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Ein Beispiel:

b.
$\begin{eqnarray*} P(x \geq 47) = 1 - P(x\leq 46) \end{eqnarray*}$

b. geht es weiter.

1.
$\begin{eqnarray*} P(x \geq 47) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(Y \geq 47) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(Y \geq 46,5) \end{eqnarray*}$

Warum ist dies richtig?

2.
$\begin{eqnarray*} 1 - P(x\leq 46) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 - P(Y\leq 46) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 - P(Y \leq 46,5) \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich hier den z-Wert?
Davor steht doch 1 - ....

3. Teil(Berechnung):

Zitat:

Ein Vertreter stellt fest, dass er in 10% aller Verkaufsgespräche zu einem Abschlusskommt.a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1.000 Verkaufsgesprächen mehr als 47Abschlüssen zu erzielen?

$\begin{eqnarray*} \mu = n*p = 1000*0,1= 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{n*p*(1-p) } = \sqrt{ 1000*0,1*0,9 }= 9,4868 \end{eqnarray*}$

Jetzt zu den unterschiedlichen Ergebnissen:

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{46,5-100 }{9,49 }=-5,637 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{46,5-100 }{9,49 }=-5,637 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \phi(-5,637) = 1 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = 1-\phi(-5,637) = 1 -(1-1) = 1 \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 00:12

frank09

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RE: Umformung - Binomialverteilung
zu 1. lt Aufgabenstellung wird nach mehr als 47 Abschlüssen gefragt, also

$\begin{eqnarray*} P(x>47) = P(x\geq48)=P(Y\geq47,5) \end{eqnarray*}$

Die Binomialverteilung ist im Gegensatz zur Normalverteilung nicht stetig, es gibt
demzufolge nur x= 0,1, etc. Die Dichtefunktion besteht aus Balken, die Bereichen der NV zugeordnet werden müssen. Weil beide Verteilungen in etwa symmetrisch um den Erwartungswert sind, liegt die Mitte eines Balkens über dem entsprechenden Wert der NV.

Für die Graphik ergibt sich (x für BV, z für NV)

$\begin{eqnarray*} P(x=0)=P(-0,5\leq z \leq 0,5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x<0)=P(z\leq -0,5) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x>0)=P(z\geq 0,5) \end{eqnarray*}$

zu 2.
Wenn "1-" davor steht, dann berechnest du erst $\begin{eqnarray*} P(Z\leq z) \end{eqnarray*}$ und ziehst diesen Wert von 1 ab.

Für die Aufgabe gilt es als sicher, mindestens 48 Abschlüsse zu machen. 48 liegt extrem unter dem Erwartungswert.

15.05.2013, 00:23

Tipso

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Hallo,

Verbesserung:

1.
$\begin{eqnarray*} P(x \geq 47) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(Y \geq 47) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} P(Y \geq 47,5) \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} 1 - P(x\leq 46) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 - P(Y\leq 46) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 - P(Y \leq 46,5) \end{eqnarray*}$

Ich müsste nun aber die gleichen Ergebnisse erhalten, obwohl meine Grenzen verschieden sind.

In der Normalverteilung ist hier ein Flächenunterschied von 1.
Genau darauf wollte ich hinaus. Ich dachte mir, ich habe hier einen Fehlschluss begangen.

15.05.2013, 16:56

frank09

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Wie in meinem Beispiel schon erwähnt

$\begin{eqnarray*} P(x>0)=P(z\geq 0,5) \end{eqnarray*}$
entsprechend

$\begin{eqnarray*} P(x>46)=P(x\geq 47)=P(z\geq 46,5) \end{eqnarray*}$

Die Grenze ist in beiden Fällen 46,5

Die Zahl 46 BV entspricht 45,5-46,5 NV.
Wenn die Zahl nicht dabei sein soll, z>46,5 (ab 46,5 beginnt die 47 BV)
Wenn sie noch dabei sein soll z<46,5 (46 BV geht genau bis 46,5)

15.05.2013, 17:06

Tipso

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$\begin{eqnarray*} P(x \geq 47) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 - P(x\leq 46) \end{eqnarray*}$

Beispiel Z für Standartnormalverteilung

$\begin{eqnarray*} P(Z\geq 47) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1 - P(Z\leq 46) \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 23:35

frank09

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RE: Umformung - Binomialverteilung
Für die Binomialverteilung gilt:

Entweder größergleich 47 oder kleinergleich 46, weil es 46,5 nicht gibt!

Für die Normalverteilung gilt

Enweder größer/größergleich* 46,5 oder kleiner/kleinergleich 46,5. Die Grenze
muss identisch sein. Ansonsten nimmst du einen Bereich aus.

Es gilt nicht:
$\begin{eqnarray*} P(Z\geq 47) + P(Z\leq 46) =1 \end{eqnarray*}$ ,
weil z.B. 46,5 fehlt

*Ob größer oder größergleich ist egal, weil P(46,5)=0

15.05.2013, 23:47

Tipso

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Enweder größer/größergleich* 46,5 oder kleiner/kleinergleich 46,5.

bei zweiterem müsse ich dann aber noch von 1 abziehen oder?
Damit ich auch diesselbe Fläche erhalte.

Ansonsten ist größer/größergleich* 46,5 + kleiner/kleinergleich 46,5 = 1

16.05.2013, 02:03

frank09

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"Von 1 abziehen" ist lediglich eine Umformung:

wegen

$\begin{eqnarray*} P(Z\geq 46,5) + P(Z\leq 46,5) =1 \end{eqnarray*}$ ,

gilt auch
$\begin{eqnarray*} P(Z\geq 46,5) =1- P(Z\leq 46,5) \end{eqnarray*}$

Du teilst die Gesamtfläche 1 in zwei Bereiche.

Weil aber (3 Bereiche)

$\begin{eqnarray*} P(Z\leq 46) + P(46\leq Z\leq 47) + P(Z\geq 47) = 1 \end{eqnarray*}$

gilt nicht (weil ein Bereich fehlt)
$\begin{eqnarray*} P(Z\leq 46) + P(Z\geq 47) = 1 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} P(Z\geq 47) = 1-P(Z\leq 46) \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 08:14

Tipso

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hm,

Im ersteren Fall hast du dann aber 46,5 zweimal als Wahrscheinlichkeit aufgefasst ..

lg

Ich glaube, dass zweiteres stimmt:

$\begin{eqnarray*} P(Z\leq 46) + P(Z\geq 47) = 1 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} P(Z\geq 47) = 1-P(Z\leq 46) \end{eqnarray*}$

Weil hier jeweils größer gleich bzw. kleiner gleich steht.

16.05.2013, 23:00

frank09

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Ich kann 46,5 zweimal als Grenze nehmen, weil P(46,5)=0 ist.

Ob ich nun schreibe
$\begin{eqnarray*} P(z\leq 46,49999999999...)+P(z\geq 46,5)=1 \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} P(z\leq 46,5)+P(z\geq 46,5)=1 \end{eqnarray*}$
ist egal, weil "..." unendlich viele Stellen umfassen würde.

Ich denke, du hast immer noch nicht verstanden, dass Z stetig ist:

Größergleich 47 oder kleinergleich 46 schließt 46,5 aus!

$\begin{eqnarray*} P(z\leq 46)+P(z\geq 47)\neq 1 \end{eqnarray*}$

Damit ist das Thema für mich durch. Schläfer

17.05.2013, 11:47

Tipso

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Um ganz ehrlich zu sein, ich habe es leider noch nicht ganz verstanden.

Ich weiß das Binomial immer auf eine bestimmte (meist ganzzahlige) Zahl bezieht.
Hingegen die Normalverteilung Bereiche als Wahrscheinlichkeit auffässt.

Vorstellen kann man es sich am kontinuum.
1 2 3 4 5 6 7

Wenn wir uns diesen Spektrum ansehen, sind die Werte (1 2 3 4 5 6) etc. als Binomiale Zahlen, die man mit Wahrscheinlichkeiten versehen kann.

In der Normalverteilung hat der exacte Wert 1 2 3 eine Wahrscheinlichkeit von 0, anzumerken ist hier, dass es nicht unmöglich ist aber sehr sehr unwahrscheinlich.

Vorstellen kann man sich dies an einem Graphen, da die Fläche mit einer Wahrscheinlichkeit in Zusammenhang gebracht wird, ist die Fläche einer besteimmten Zahl hauchdünn und somit extrem unwahrscheinlich.

Sollte soweit passen und richtig sein.
Daraufhin fangen meine Probleme an.

Edit:
An deiner Skizze hast du mit genau dies erklärt und ich habe es glaube ich nach einigen Tagen soweit verstanden.

17.05.2013, 12:51

HAL 9000

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Zum Thema "Binomialverteilung und deren Approximation durch die Normalverteilung" mal ganz langsam zum Mitlesen:

(1) $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ ist eine diskrete Zufallsgröße mit Werten in $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ , d.h. es kommen insbesondere keine gebrochenen Werte vor. Das heißt u.a. auch für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X<k) = P(X\leq k-1)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k) = 1-P(X<k) = 1-P(X\leq k-1)\qquad (**) \end{eqnarray*}$

usw. Für $\begin{eqnarray*} k=471 \end{eqnarray*}$ wäre das demnach

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 471) = 1-P(X<471) = 1-P(X\leq 470) \end{eqnarray*}$ .

Wieso du dann oben nochmal 1 abziehst und $\begin{eqnarray*} P(X\geq 471) \stackrel{???}{=} 1-P(X\leq 469) \end{eqnarray*}$ schreibst, bleibt wohl dein Geheimnis - und du machst diesen Fehler immer und immer wieder, ohne die Fähigkeit, den Fehler mal abzustellen. Das ist mir unbegreiflich. unglücklich

(2) In vielen Situationen verwendet man nun aber die Approximation $\begin{eqnarray*} B(n,p) \approx \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu=np,\sigma^2=np(1-p) \end{eqnarray*}$ , oftmals wird als Kriterium der Verwendbarkeit dieser Approximation die Bedingung $\begin{eqnarray*} np(1-p)\geq 9 \end{eqnarray*}$ genannt. Im Klartext bedeutet diese Approximation der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , dass man der diskreten Einzelwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ die Intervallwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P\left(k-\frac{1}{2} < Y \leq k+\frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ der stetigen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ als Approximation zuordnet, d.h. man wählt als zugeordnetes Intervall ein Intervall der Länge 1 symmetrisch um den fraglichen Punkt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ herum. Somit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} P(X=k) \approx P\left(k-\frac{1}{2} < Y \leq k+\frac{1}{2} \right) = \Phi\left( \frac{k+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{k-\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ .

Angewandt wird diese Approximation dann aber weniger für solche Einzelwahrscheinlichkeiten denn eher für Intervallwahrscheinlichkeiten, indem man über mehrere $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ summiert, was dann zu

$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b) \approx P\left(a-\frac{1}{2} < Y \leq b+\frac{1}{2} \right) = \Phi\left( \frac{b+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) \approx P\left(Y \leq k+\frac{1}{2} \right) = \Phi\left( \frac{k+\frac{1}{2}-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

führt.

Und jetzt sei noch mal besonders betont: Die für die diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ geltenden Beziehungen (*) bzw. (**) gelten NICHT für stetige Zufallsgrößen wie $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ - für die gilt ganz im Gegenteil

$\begin{eqnarray*} P(Y<y) = P(Y\leq y) = F_Y(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq y) = 1-P(Y<y) = 1-P(Y\leq y) = 1-F_Y(y) \end{eqnarray*}$

für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , schlicht weil Einzelpunktwahrscheinlichkeiten (wie von dir eben auch erwähnt) bei stetigen Zufallsgrößen immer die Wahrscheinlichkeit 0 haben, in Formeln $\begin{eqnarray*} P(Y=y)=0 \end{eqnarray*}$ .

17.05.2013, 12:59

Tipso

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Danke.

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