Absolute Konvergenz von Reihen |
| 13.05.2013, 21:26 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Absolute Konvergenz von Reihen 1) Entscheide ob die vorgegebenen Reihen absolut konvergent sind oder nicht. (Mit Begründung) 2) Entscheide ob die Reihen konvergent sind oder nicht (Mit Begründung) Meine Frage: Mithilfe der Konvergenzkriterien für Reihen kann ich die Konvergenz überprüfen. Wenn ich diese anwende, dann ist die Reihe konvergent oder ebend nicht! Mich würde jetzt interessieren, ob es nichte infach reicht, die Konvergenzkriterien anzuwenden, und wenn sie konvergieren, dann sie sie auch absolut konvergent. Mir kommt es vor als ob dort eine Aufgabenstellung zu viel sei. Eventuell habe ich auch nur etwas missverstanden. Außerdem interessiert mich worin die Begründung liegt. Handelt es sich hierbei einfach nur um das Notwendige Kriterium (Nullfolge) und wenn nötig der Konvergenzkriterien? |
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| 13.05.2013, 21:31 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Absolute Konvergenz von Reihen Eine konvergente Reihe muss noch lange nicht absolut konvergent sein. Die Umkehrung hingegen ist richtig. Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, dann ist sie logischerweise auch konvergent. Das heißt, wenn du in 1) bei einer Reihe absolute Konvergenz nachweisen kannst, musst du sie in 2) natürlich nicht weiter untersuchen. Aber wenn eine Reihe nicht absolut konvergent ist, kann sie eben trotzdem noch konvergent sein. Eine Begründung ist eben der Nachweis anhand eines geeigneten Kriteriums. Irgendwie muss man seine Antwort ja begründen können. Sonst kann man ja einfach raten. |
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| 13.05.2013, 21:41 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jetzt bin ich leider etwas verwirrt. Ich kenne alle wichtigen Kriterien und würde nach folgendem Schema die Reihen untersuchen: Nullfolgenkriterium (Reihe divergent?)-> Quotientenkriterium, WurzelKriterium ->rational in n?, dann Grezwertkriterium ansonsten leibnizkriterium sofern sie alternierend ebend ist ->Majoranten/minorantenkriterium .... Und wenn eines gilt, dann ist die Reihe konvergent, ansonsten ist sie divergent. Jetzt interessieren mich die Bedingungen für eine absolute konvergenz. Im Internet werden die gleichen Kriterien wie die normale konvergenz der Reihen genannt (Konvergenzkriterien). Was hab ich übersehen?^^ |
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| 13.05.2013, 21:50 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Prinzip stehen dir da genau die gleichen Werkzeuge zur Verfügung. Der Unterschied ist doch nur, dass wir die Folge etwas verändern und von jedem Folgenglied erst einmal den Betrag bilden, ehe wir dann die Folgenglieder aufsummieren und gucken, was dann passiert. |
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| 13.05.2013, 22:00 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Auf absolute Konvergenz muss ich aber nur speziell untersuchen, wenn negative Werte in der Reihe vorhanden sind oder? Ansonsten kann ich die normalen Kriterien für eine Reihe verwenden, und dann ebend sschauen ob die Reihe absolut konvergent ist oder nicht. Oder ist nicht jede postive Reihe die konvergent ist absolut konvergent? Ich habe gerade etwas Probleme darin den Unterschied der Konvergenz und der absoluten Konvergenz zu erkennen. |
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| 13.05.2013, 22:07 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn sowieso alle Folgenglieder schon positiv sind, sind Konvergenz und absolute Konvergenz natürlich gleichbedeutend, ja (oder wenn halt alle Folgenglieder negativ sind). Interessant wird's, wenn das Vorzeichen alterniert. Vielleicht mal das Standardbeispiel schlechthin: Diese Reihe ist konvergent (warum?). Damit diese Reihe auch absolut konvergent ist, muss auch konvergent sein. Ist aber nicht der Fall (warum)? Absolute Konvergenz ist eben eine stärkere Bedingung als "nur" Konvergenz. |
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| 13.05.2013, 22:10 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube ich weiss nun was der Unterschied ist. Nun glaube ich auch zu verstehen weshalb unser Prof. 1 Stunde etwas zum Umordnungssatz erzählt hat. Kann es sein das der Grenzwert anders ist wenn man die Summanden einer Reihe vertauscht? Ist diese trotzdem konvergent bei der Umtauschung so handelt es sich um eine absolut konvergente Reihe, da ich die Summanden beliebig tauschen kann? |
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| 13.05.2013, 22:24 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn sie bei jeder Umordnung konvergent ist, ist sie absolut konvergent. Jedenfalls in unserem Fall, wir bewegen uns in den reellen Zahlen. Ganz allgemein in irgendwelchen anderen Räumen kann das schon wieder anders aussehen. Aber ich glaube, das ist an dieser Stelle nicht so wichtig. |
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| 13.05.2013, 22:29 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, dann hab ich die absolute Konvergenz verstanden. Jetzt würde mich aber etwas interessieren. Du meinst das bei nur positiven Summanden die Konvergenz und absolute Konvergenz gleichbedeutend ist. Wann ist sie nicht gleichbedeutend? Wann ist es interessant eine Reihe auf absolute Konvergenz zu überprüfen? Wenn sie alternierend ist? Und wenn sie negative Summanden hat? Gemischt mit positiven? Letztendlich interessiert mich wie ich die Reihe dann auf absolute Konvergenz überprüfen tue. Soll ich einfach die Summanden umtauschen und dann die Kriterien normal verwenden? mfg |
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| 13.05.2013, 22:42 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bilde einfach von jedem Folgenglied den Betrag und schau dann mal. Das hab ich doch schon geschrieben oben. |
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| 13.05.2013, 22:57 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn nun Reihen gegeben sind mit der Folge wie zum Beispiel: 1) log(n)/n^4 2)n^4+n^19 3) sin(n)/n! 4) ln(n) brauche ich hier keine Betragsstriche zu verwenden. Ich verwende einfach ganz normal die Konvergenzkriterien für Reihen. Sind die nur aus positiven Werten Reihen konvergent so sind sie auch absolut konvergent. Und wenn nun Reihen gegeben sind wie zum Beispiel: 1) (-1)^k/Wurzelk 2) 22*-(3)^k und ähnliche alternierende Reihen, so soll ich diese erst auf absolute konvergenz überprüfen sofern erforderlich. Ist sie absolut konvergent, dann hat sie denselben grenzwert als würde ich die reihe auf ,,normale" konvergenz überprüfen. Ist die überprüfbare absolute konvergente Reihe nicht konvergent, kann es sein, dass die ,,normale" Reihe trotzdem konvergent ist. Und letztendlich bei Reihen wie zum Beispiel 1) 6^n-14n/sin(n) -n^5 Solch eine Mischung von negativen und positiven Werten kann auch auf absolute konvergenz überprüft werden. Ist sie absolut konvergenz hat sie denselben Grenzwert wie die ,,normale" konvergenz. Ist sie nicht absolut konvergenz, kann sie immer noch ,,normal" konvergent sein. So, das wär es jetzt. Ich hoffe du bist mir nicht böse. Ich möchte nur jeden Fall abgehackt haben und wissen ob ich alles wirklich verstanden habe was du gesagt hattest. Bitte korrigier mich. Außerdem wäre es nett wenn du noch kurz sagen würdest was du mit dem Betrag der Folgeglieder meinst bezüglich Reihen. Ich weiss zwar, was der Glied/Index einer Folge ist kann aber nichts bezüglich Reihen verstehen. |
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| 13.05.2013, 23:10 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bei der dritten natürlich schon. Der Sinus wird mal positiv, mal negativ. Konvergiert aber auch absolut, das ist mit dem Majorantenkriterium schnell erledigt.
1) Leibniz 2) Trivialkriterium Ganz generell kannst du nicht für alles Kochrezepte finden. Du musst halt hinschauen, was du vorliegen hast und dann geeignete Kriterien finden. Ein Stück weit ist das dann einfach auch Übungssache. Für dein letztes Beispiel gilt das gleichermaßen, wobei ich da nicht genau weiß, was du nun meinst, weil du wichtige Klammern unterschlagen hast (vermute ich jedenfalls). Deine letzte Frage ist etwas unverständlich. Weiß daher grad nicht genau, was du meinst. Eine Reihe ist eine spezielle Folge. Eine Folge von Partialsummen. Die Glieder einer Folge werden aufsummiert. So entsteht eine "Reihe". Und so eine Reihe ist eben konvergent, wenn die Summe aller Glieder der Folge, die wir gerade betrachten, nur einen endlichen Wert annimmt. |
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| 13.05.2013, 23:28 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Etwas verwirrt bin ich leider immer noch bezüglich dem Betrag der Folgeglieder. Kannst du eventuell ein leichte veranschaulichung machen bzw. ein Beispiel zeigen. Mithilfe einer Veranschaulichung ist dannalles meistens viel einfacher. |
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| 14.05.2013, 00:14 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist eigentlich so mit das einfachste Beispiel. |
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| 14.05.2013, 01:04 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist das den nicht gleichbedeutend mit den normalen Konvergenzkriterien? Da dort ebenfalls der Betrag betrachtet wird? Hier handelt es sich ja eigentlich nur um Doppelbeträge, sobald ich reihen auf absolute konvergenz mithilfe der konvergenzkriterien untersuche. |
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| 14.05.2013, 12:54 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wo wird der Betrag betrachtet? Du schielst jetzt vermutlich auf z.B. das Quotientenkriterium. Ja, da betrachtet man ohnehin Beträge. Und da steht das ja auch in der Definition wohl dabei, dass, wenn das Quotientenkriterium erfüllt ist, die Reihe nicht nur konvergent, sondern sogar absolut konvergent ist. Das ist aber ja längst nicht bei jedem Kriterium der Fall. Was ist z.B. mit dem Leibnizkriterium? Allerdings ist das Quotientenkriterium für dieses Beispiel mit dem (-1)^n/n ja sowieso völlig ungeeignet. |
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| 14.05.2013, 16:36 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich möchte das letzte Mal alles erwähnen was wichtig ist und bitte dich mich zu korregieren, sofern einer meiner Aussage falsch sei. Sofern alles stimmt, müsste ich den Unterschied der absoluten Konvergenz von Reihen und der normalem Konvergenz von Reihen endlich verstanden habe. Und außerdem sollte ich jetzt fähig sein alle Aufgaben bezüglich diesem Themendfeld zu lösen. 1) Absolut konvergente Reihe - Ist eine Reihe, die auch konvergiert, wenn man ihre Partialsummen umordnet (Umordnungssatz). Dies prüft man, indem man die Folge der Reihe in Betragsstriche setzt und somit den Betrag der Folge überprüft. Wenn sie Absolut Konvergent ist, dann hat sie denselben Grenzwert wie ihre ,,normale" Konvergenz. Wenn die Reihe nicht absolut Konvergent ist, kann sie immer noch (,,normal") konvergent sein. 2) Wenn Reihen komplett aus positiven Werten bzw. Termen bestehen (Hierzu gehören keine Trigometrischen Reihen, da diese auch negative Werte annehmen können), kann ich die Reihe ganz normal auf Konvergenz überprüfen, also kurz, es gilt normale konvergenz=absolute konvergenz hier. Das mach ich mithilfe des Nullfolgenkriteriums und der anderen Kriterien. Also Majoranten/- Minorantenkriterium, Quotientenkriterium, Wurzelkriterium etc. . Konvergiert die Reihe, so ist sie auch absolut konvergent! 3) Ist eine alternierende Reihe vorhanden, oder eine Reihe die negative Werte annehmen kann bzw. aus Termen besteht die negativ sind, muss ich, um ihre absolute Konvergenz überprüfen zu können, den Betrag der Folge betrachten. Ist die Reihe absolut konvergent, so hat sie denselben Grenzwert wie die normale Konvergenz der Reihe. Ist sie jedoch nicht absolut konvergent, so kann sie trotzdem immer noch ("normal") konvergent sein. 4) Bei meinen Aufgaben sind vier von sieben auffällige Reihen. 3 von ihnen sind alternierend, da sie mit (-1)^k multipliziert werden. Außerdem hat eine Reihe die Folge sin(k)/k!. Deshalb macht es wahrscheinlich nur Sinn, diese 4 Reihen auf absolute konvergenz zu überprüfen, da die anderen drei ja nur positive Werte annehmen und wenn sie ebend konvergent sind, sind sie auch absolut konvergent. 5) Wenn das alles richtig ist, wie entscheide ich über die absolute Konvergenz von Reihen mit Trigometrischen Funktionen die negative Werte annehmen können, wie z.b. sin(k)/k!. Wie betrachte ich also den Betrag von so einer Funktion? Eigentlich macht hier außerdem nur das Leibniz Kriterium Sinn oder? Ich hoffe das ist nicht zu viel. Ich weiss das ich manches bereits erwähnt hatte, möchte jedoch mit einer 100% Sicherheit dieses Thema beenden.^^ |
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| 14.05.2013, 16:54 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also zunächst mal: Das ist kein sinnvoller Satz. Die Reihe soll den selben Grenzwert wie ihre normale Konvergenz ?? Bitte bemühe dich auf fachlich korrekte Ausdrucksweise. Ich kann grad nur erahnen, was du eigentlich wissen wolltest: Aber: Wenn eine Reihe absolut konvergent ist, ist i.A. natürlich nicht Wie soll das denn gehen? Beide Reihen sind konvergent, müssen aber doch nicht gegen den gleichen Wert konvergieren.
Du kannst ja ruhig erstmal abschätzen zu einer einfacheren Reihe, wo du dann die absolute Konvergenz leichter nachweisen kannst. Du kannst ja ruhig auch mal mehr als nur ein Kriterium bei einer einzelnen Reihe benutzen. Mittels einer geeigneten Abschätzung kannst du den Sinus loswerden und dann wird's einfacher. Generell solltest du einfach mal anfangen, die Reihen abzuarbeiten. Das ist reine Übungssache, du kannst nicht vorher ein paar allgemeine Merksätze sammeln in der Hoffnung, dass die dann auch gleich zu allem die perfekte Lösungsstrategie liefern. Vieles klärt sich bestimmt schon, wenn man ganz konkret die Sachen bearbeitet. |
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| 14.05.2013, 17:03 | Amplitude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das stimmt dann werde ich jetzt mal anfangen. Ich werde dann hier posten wenn es Probleme geben sollte. Mich würde noch eine kleine Sache bezüglich alternierenden Reihen interessieren. Wenn ich nun eine Reihe mit -1^k * a_n habe, dann nehme ich den Betrag und das impliziert ja das -1^k einfach nur eins ist. Danach kann ich ganz normal die Konvergenzkriterien anwenden wie ich es auch bei einer normalen Konvergenzuntersuchung machen würde bezüglich der Reihe. ( Also Nullfolgekriterium, Quotientenkriterium,Wurzelkriterium, Majorantenkriterium/Minoratenkriterium - das Leibnizkriterium kann ich dann also bei der Untersuchung der absoluten Konvergenz einfach ignorieren, da es ja nicht vorkommen kann). So, wenn das richtig ist dann kann ja durchgerechnet werden.^^ |
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| 14.05.2013, 17:07 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ein (-1)^k wird einfach 1, wenn man den Betrag bildet. Danach läuft's wie gehabt. Leibniz fällt dabei dann logischerweise flach, das ist ja eben genau für solche Fälle, wo ein (-1)^k drin steckt, ausgelegt. Aber genau das (-1)^k eliminierst du ja bei der Betragsbildung. |
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