Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen

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Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Abb. f: R^2 --> R mit:
f(x,y) = für und 0 für (x,y)= 0.

Meine Ideen:
Ich komme jetzt nicht weiter beim Beweis der Stetigkeit.
Kann mir jemand einen Ansatz zeigen. Das wäre echt super. Big Laugh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Benutze .
 
 
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Danke schon mal für die Anwort. Freude

Aber könntest du mir vielleicht noch sagen, was genau man zeigen muss, weil wenn man eine "normale" Funktion hat, beweist man die Stetigkeit mit der Epsilon-Delta-Definition, aber was genau soll man in meinem Fall anwenden (im Skript habe ich diesbezüglich nichts stehen unglücklich )
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Für gewöhnlich zeigt man, dass aus auch folgt.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ok, und wenn das erfüllt ist, dann ist f überall stetig?

Dh. ich muss zeigen, dass für (x,y)-->(0,0) auch f(x,y)--> f(0,0)?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Dann ist im Nullpunkt stetig.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Achso und was ist mit den anderen Punkten? Wie beweist man da die Stetigkeit?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Meist ist die Funktion sonst schon als Komposition stetiger Funktionen stetig.
Ansonsten macht man das ganz analog wie hier beim Nullpunkt.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ok, wäre das den so richtig:

f(x,y) =
für (x,y)-->(0,0) ist f(x,y)=0
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Die Abschätzung geht in die falsche Richtung und ohnehin schätzt du den falschen Term ab.
Außerdem ist nicht Null, wenn .
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ok, und in welche Richtung soll sie dann gehen?

Warum ist das nicht null??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Beim Abschätzen gibt es nur zwei Richtungen...

Und wieso sollte denn Null sein?
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Mir ist im Moment aber nicht wirklich klar, wie die andere Richtung aussieht... unglücklich

Ich dachte, weil für (x,y)=(0,0) ist f(x,y) = 0 und wenn jetzt (x,y)-->(0,0) geht...aber anscheinend falsch gedacht...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Du hast in eine Richtung falsch abgeschätzt – nach unten. Was könnte da wohl die andere Richtung sein?

Und wieso sollte aus folgen, dass ist? verwirrt
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Müsste es so sein:

f(x,y) =
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Nein.
Wenn , wäre die Abschätzung falsch.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ok. Und wie könnte man das anders machen? smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Versuch doch mal selbst darauf zu kommen.
Wie kann man zeigen, dass etwas gegen Null geht?
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Man zeigt, dass etwas gegen Null geht, indem man zeigt, dass es beliebig klein werden kann.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Beliebig klein? Inwiefern?
Das klingt etwas mehr nach Divergenz gegen .

Präzisiere das mit dem "beliebig klein" mal etwas.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Mit beliebig klein meinte ich, dass die Werte gegen Null gehen, also schon größer Null sind.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Man zeigt also, dass etwas gegen Null geht, indem man zeigt, "dass die Werte gegen Null gehen"? geschockt

Und wieso müssen Nullfolgen positiv sein?
Etwas wie geht auch gegen Null für .
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Nicht, wenn man den Betrag verwendet und das haben wir halt immer so gemacht.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Na bitte.
Um zu zeigen, dass etwas gegen Null geht, kann man zeigen, dass der Betrag gegen Nul geht. Den muss man dazu nämlich nur nach oben gegen eine Nullfolge abschätzt.

Und wenn ihr immer den Betrag verwendet habt, wieso hast du das hier nicht getan? unglücklich
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Hab ich vergessen unglücklich

Das mit dem Abschätzen nach oben gegen eine Nullfolge verstehe ich noch nicht ganz...
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Warum muss man das gegen eine Nullfolge abschätzen, das (x,y) geht ja nicht gegen unendlich???
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Wenn

gilt und für , kannst du folgern.

Und wie sollte auch gegen Unendlich gehen?
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Kann man das daraus folgern, weil das "?" eine konvergent Majorante ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ja. Das ist der Dreifolgensatz bzw. das "Sandwichprinzip".
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ok. Und warum kann ich da nicht | (|x|^(1/3))*y| nehmen, weil man kann doch eigentlich sehen, dass das eine Nullfolge ist.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Das sollst du ja auch...
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Was soll ich auch? verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Die von dir genannte Majorante (besser: obere Schranke) wählen, um die Konvergenz zu beweisen.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Achso, dann darf ich | (|x|^(1/3))*y| benutzen und muss dann zeigen, dass | (|x|^(1/3))*y| gegen Null konvergiert für (x,y)-->(0,0) ??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ja, das ganze musst du auch noch sauber aufschreiben.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ja, muss man beim Aufschreiben auf irgendetwas besonderes achten?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Darauf, dass alles Sinn ergibt... verwirrt
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Ja, außer auf das ... hätte ja sein können, dass es da irgendwelche besonderen Schreibweisen (als die gewöhnlichen) gibt. Man kann ja nie wissen Augenzwinkern

Und jetzt habe ich noch eine Frage zu den anderen Punkten, kann man das da auch mit einer oberen Schranke abschätzen? verwirrt
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Die Stetigkeit in den anderen Punkten erhält man wegen der Stetigkeit von Kompositionen stetiger Funktionen.
Ilon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit beweisen bei Abbildung mit 2 Variablen
Darf man das dann einfach so sagen? Gilt das auch bei Funktionen mit mehreren Variablen?? verwirrt
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