warum steht diese matrix senkrecht auf dem funktionenraum?

13.05.2013, 20:19	banjo4	Auf diesen Beitrag antworten »
warum steht diese matrix senkrecht auf dem funktionenraum? Meine Frage: Hey, ich habe ein Problem beim Verstehen des Papers, das ich für meine Bachelorarbeit lesen. Ich habe eine Matrix A(v) die orthogonal zu dem Kern eines Operators L sein soll: $\begin{eqnarray} A(v)=v\otimes v - \frac{1}{3} \|v\|^2 I= \begin{pmatrix} \frac{2}{3}v_1^2-\frac{1}{3}v_2^2-\frac{1}{3}v_3^2 & v_1v_2 & v_1v_3 \\ v_2v_1 &\frac{2}{3}v_2^2-\frac{1}{3}v_1^2-\frac{1}{3}v_3^2 & v_2v_3 \\ v_3v_1 & v_3v_2 &\frac{2}{3}v_3^2-\frac{1}{3}v_1^2-\frac{1}{3}v_2^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei I die Einheitsmatrix ist und $\begin{eqnarray} v = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Der Operator L ist nichtnegativ, Fredholm, selbstadjungiert ungebunden auf $\begin{eqnarray} L^2(\mathbb R^3; M dv) \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} ker L = span\{1, v_1, v_2, v_3, \|v\|^2\} \end{eqnarray}$ hierbei ist M die Standartnormalverteilung also: $\begin{eqnarray} M=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\exp(\frac{\|v\|^2}{2}) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bis jetzt weiß ich nicht so recht wie man da orthogonalität zeigen bzw. sehen soll. Ich habe das jetzt so aufgefasst, das die Elemente des Kerns nicht als reele Zahlen zu sehen sind, sondern als Funktionen die von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ abbilden, da sonst der span keinen sinn machen würde. Und hab mir dann gedacht, dass man A(v) auch als Funktion auffassen kann. allerdings wäre das dann, wenn ich mich nicht täusche von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . naja und dann müsste ja Orthogonalität dadurch, dass das L2-Skalarprodukt der Funktion A und der Elemente aus dem kern Null ist, zu zeigen sein, aber: $\begin{eqnarray} <A(v),v_1>_{L^2}=\int \! A(v)v_1 \, dv \end{eqnarray}$ die rechte Seite ist doch so kein Skalar sondern in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ,außerdem frage ich mich ob ich das Skalarprodukt evtl als: $\begin{eqnarray} <a,b>_{L^2_M}=\int \! ab M \, dv \end{eqnarray}$ wähen muss da der Operator für das Maß war. Kann mir da irgendwer weiterhelfen, bzw bin ich hier auf dem völlig falschen Dampfer und die Orthogonalität folgt irgendwie aus der Fredholm Alternative? Vielen Dank für Hilfe schonmal im Vorraus
13.05.2013, 20:32	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: warum steht diese matrix senkrecht auf dem funktionenraum? Das ganze ergibt für mich ohnehin keinen Sinn. Der Kern des Operators sollte ein Teilraum eines Funktionenraumes sein, wird aber als Spann von vier reellen Zahlen angegeben. Auch nach deiner Interpretation wäre das der Raum aller konstanten Funktionen. Und eine Matrix soll dazu orthogonal sein? Dürfte man mal etwas mehr von diesem Paper sehen?

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