Grenzwert n-te Wurzel aus Folge

13.05.2013, 23:09

Fezo63

Grenzwert n-te Wurzel aus Folge

Meine Frage:
Hallo, warum kann ich annehmen, dass gilt:
\lim_{n \to \infty}(a_{n})^{1/n}
= (\lim_{n \to \infty} (a_{n}))^{1/n}

Meine Ideen:
Das ist Teil der Aufgabe zu zeigen, dass obiges für a>0 immer den Grenzwert 1 hat. Habe über logarithmieren schon gezeigt, dass das stimmt, wenn obiges gilt.. aber das klappt noch nicht Augenzwinkern

13.05.2013, 23:17

Che Netzer

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(a_{n})^{1/n}= (\lim_{n \to \infty} (a_{n}))^{1/n} \end{eqnarray*}$ ?
Das ist Unsinn. Was soll denn dieses $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite sein?

13.05.2013, 23:34

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Gemeint ist, dass der Grenzwert der Folge: "n-te Wurzel aus Folgenglied a_n" gleich dem Grenzwert der Folge: "n-te Wurzel aus Grenzwert von a_n" ist.
Scheint mir auf den ersten Blick auch recht sinnvoll zu sein, nur kann ich es nicht beweisen.
Habe den zweiten lim dann entsprechend vergessen...
Gemeint war:
\lim_{n \to \infty}[(a_{n})^{1/n}]
= \lim_{p \to \infty} [(\lim_{n \to \infty} (a_{n}))^{1/p}]

13.05.2013, 23:36

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Und die Tags natürlich auch vergessen... :/

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}[(a_{n})^{1/n}]<br /> = \lim_{p \to \infty} [(\lim_{n \to \infty} (a_{n}))^{1/p}]<br /> \end{eqnarray*}$

13.05.2013, 23:43

Che Netzer

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Na gut, das ist nun formal kein Unsinn mehr, sondern nur noch schlicht falsch.
Du kannst ein Gegenbeispiel suchen.

13.05.2013, 23:47

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Gilt das vllt unter irgendwelchen Einschrämkungen?
Ansonsten macht nämlich die ganze restliche Aufgabe ehrlich gewsagt so wie sie da steht wenig Sinn... das steht so als Aussage doch recht deutlich auf dem Blatt :/

13.05.2013, 23:49

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Hier steht noch klein dabei, dass an eine Folge positiver Zahlen mit einem Grenzwert größer gleich 0 ist...

13.05.2013, 23:54

Che Netzer

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Na bitte, jetzt hast du endlich einen Teil der ganzen Aufgabenstellung preisgegeben. Tu das beim nächsten mal besser gleich (und benutze auch die Vorschau-Funktion und vermeide Doppelposts).

Bevor wir jetzt weitermachen, verrate bitte die vollständige Aufgabenstellung. Im Wortlaut, nicht in einer eigenen Interpretation.

14.05.2013, 00:01

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Es sei (a_n) eine Folge postivier Zahlen mit Grenzwert a>=0
Begründen Sie, dass:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty}[(a_{n})^{1/n}]<br /> = \lim_{p \to \infty} [(\lim_{n \to \infty} (a_{n}))^{1/p}] \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 00:26

Che Netzer

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Und das Ziel der Aufgabe ist es, $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_n}\to1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ zu zeigen? Das geht aber viel einfacher unglücklich

Die Aussage ist jedenfalls immer noch falsch.
Sollt ihr das wirklich für $\begin{eqnarray*} a\geq0 \end{eqnarray*}$ zeigen?

14.05.2013, 08:57

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Das ist echt komisch, denn das steht da wirklich so unglücklich

Ich soll halt zuerst prüfen, dass genannte Aussage gilt und dann im nächsten Aufgabenteil daraus folgern (und das impliziert halt schon, dass es wahr sein soll), dass für a>0 der Grenzwert dieser Wurzel eben 1 ist. Für ein konstantes a ist das ja mit Bernouilli-Ungleichung ganz einfach.
Wie würdest du es denn machen, du sagtest es geht viel einfacher?

Dennoch ist leider auch das ein Teil der Aufgabe? Gilt es vllt für a>0? Das steht da zwar so nicht genau in der Aufgabe, aber da der Schluß für den Grenzwert nur dafür getroffen werden soll, könnte man es vllt auch so verstehen...

14.05.2013, 09:18

Che Netzer

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge

Zitat:

Original von Fezo63
Wie würdest du es denn machen, du sagtest es geht viel einfacher?

Mit dem Dreifolgensatz kann man die Aussage für alle Folgen beweisen, die nach oben und von der Null weg beschränkt sind, d.h. die in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [c,C] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<c<C<\infty \end{eqnarray*}$ liegen.

Stetigkeit der Exponential- und Logarithmusfunktion würden ebenso funktionieren.

Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ stimmt diese "Grenzwertaufteilung" zwar (dann sind beide Seiten Eins), aber das lässt sich fast am einfachsten zeigen, indem man die "Zielaussage" beweist.

Naja, schreib am besten den Aufgabensteller eine Mail; das Gegenbeispiel, bei dem es für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ nicht klappt, ist übrigens $\begin{eqnarray*} a_n=\frac1n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

14.05.2013, 09:32

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Gut, dann werde ich da wohl noch einmal nachfragen, die Aufgabe aber erste einmal bearbeiten für a>0, ich nehme an, dass wir dann wohl so gemeint gewesen sein (nur dann ist ja auch der Folgeschluss richtig).
Demnach kann ich den Bernouille-Teil verwerfen, weil ich es für a>0 auch nicht auf einfache Art zeigen kann?
Dann also Sandwich-Lemma: Nun kenne ich ja keine tatsächliche obere Begrenzung, also muss ich diese einfach als C durchziehen?
Wie würde ich dann da vorgehen?

14.05.2013, 09:37

Fezo63

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RE: Grenzwert n-te Wurzel aus Folge
Bzw. wäre es schon schöner, wenn man es für a>0 noch auf anderem Weg zeigen könnte, das entspricht irg dann doch eher der Reihenfolge, die die Aufgabe vorgibt

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Grenzwert n-te Wurzel aus Folge

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