Abi Klausur

14.05.2013, 17:01

Abitur2013

Abi Klausur

Meine Frage:
Hallo Matheboard-Community,
Ich schreibe bald meine Abi Klausur in Mathe und wollte deshalb nochmal alles reflexieren, um auch 100% fit zu sein.

Bei einigen Aufgaben jedoch hatte ich Probleme, da ich vieles versäumt hatte. Und ich habe nicht mehr die Möglichkeit meine Lehrer zu fragen, da ich schon frei habe. Und bevor ich meine Klassenkameraden um Hilfe bitte, frage ich lieber in diesem Forum nach, weil hier richtige Mathematiker ungerwegst sind Big Laugh

.

Die Aufgaben mögen für Euch einfach sein, doch es wäre mir eine große Hilfe, wenn Ihr mir mit Rat zur Seite stehen könnt.

Ich bitte Euch mir allgemeine Antworten zu geben mit Beispielen die ich unten angegeben habe, damit ich den Sinn dahinter auch verstehe. Vielen Dank!

Nun zu meinen Fragen um das Thema Kurvendiskussion:

gebrochen rationale Funktion: $\begin{eqnarray*} \frac{x³-2x²-x+2}{x²+3x+2} \end{eqnarray*}$
1) Was genau sind Pol-Stellen und was sind Lücken?
2) Was ist eine Ersatzfunktion?

dann zu der e-Funktion: $\begin{eqnarray*} txe^{-0,5tx²} \end{eqnarray*}$

1) Wenn ich die Asymptote ermitteln möchte, muss ich immer die Regel von l'hospital bei eine der beiden Fälle anwenden? Und wenn das erste unbestimmt ist, ist dann davon auszugehen, dass z.B. - $\begin{eqnarray*} \infty x^{n} \end{eqnarray*}$ ein bestimmter Ausdruck ist?

2) Ich muss die Kurvenschar auf Invertierbarkeit prüfen und diese auch beweisen. Das ist für mich völlig fremdes Neuland. Ich hab überhaupt keinen Ansatz wie so etwas funktioniert.

Und schließlich zu meiner letzten Frage:
Kann es sein, dass man beim Integrieren verschiedene Lösungen erhalten kann?

hier ein Beispiel

Ausgangs Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} \frac{x²+tx}{x²-4x+3} \end{eqnarray*}$ (t=2)

Lösung von meinem Lehrer: $\begin{eqnarray*} F(x)=x-\frac{3}{2}ln(x-1)+\frac{15}{2}ln(x-3)+c \end{eqnarray*}$

Meine Variante: $\begin{eqnarray*} F(x)=x+3ln(x²-4x+3)-12artanh(x-2)+c \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsweg:
$\begin{eqnarray*} \frac{x²-4x+6x+12-12}{x²-4x+3} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{x²-4x+3}{x²-4x+3}+\frac{6x-12}{x²-4x+3}-\frac{12}{1-(x-2)²} \end{eqnarray*}$

und der Rest ergibt sich ja von selbst...

Ist meine Lösung möglich? Wenn ich Fehler gemacht habe, so korrigiert mich bitte.

Ich erwarte nicht, dass Ihr jede Frage beantworten könnt, aber bin für jede Hilfe unendlich Dankbar.

Ansonsten wünsche ich Euch noch einen schönen Tag.

Meine Ideen:
-

14.05.2013, 19:35

grosserloewe

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RE: Abi Klausur
Wink

ich habe Antwort zu dieser Frage:
Kann es sein, dass man beim Integrieren verschiedene Lösungen erhalten kann?

so wie Du das Integral gelöst hast , ist es falsch.
Ich schlage vor, zuerst eine Polynomdivision durchzuführen und danach eine Partialbruchzerlegung.
dann kommst Du auf das Ergebnis von deinem Lehrer. Probiere das mal, ich helfe Dir Schritt für Schritt.

Ich gehe davon aus, das das Integral so lautet:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^{2}+2x }{x^{2}-4x +3 } \, dx \end{eqnarray*}$

14.05.2013, 20:38

Abitur2013

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danke das du mir hilfst.
Ja so lautet das Integral. Könntest Du mir sagen was ich falsch gemacht habe? Ansonst ist die Partialbruchzerlegung eine hervorragende Idee. Bin noch nicht darauf gekommen nach 1h Überlegungen...

14.05.2013, 21:03

grosserloewe

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Bringe die rechte Seite mal auf den Hauptnenner, dann wirst du sehen, das der Ausdruck auf der rechten Seite nicht identisch mit dem Ausdruck auf der linken Seite ist. Außerdem kannst Du Dein Ergebnis selbst kontrollieren, inden Du es ableitest, Du kommst dann aber nicht auf das Integral.

PS ich habe sowas erst beim Studium gehabt, aber ist egal smile

Bist Du einverstanden , das ich Dir mal das Vorgehen erkläre?

14.05.2013, 21:04

MaxderMathematiker

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Also, dann gehen wir deine Fragen doch mal durch. Ich werde das jetzt mal versuchen leicht verständlich zu schreiben, und dafür vllt nicht ganz haargenau mathematisch korrekt sein.

Also fangen wir bei den Polstellen an. Eine Polstelle ist eine Definitionslücke in der Funktion. Das besondere daran ist, dass die Funktion nahe der Polstelle ins Unendliche abhaut.

Definitionslücken generell sind einfach, wie der Name schon sagt, Stellen, die nicht definiert sind ( genial, was?) Das kann zum beispiel sein, wenn du im Nenner x-1 stehen hast. Da wäre 1 eine Definitionslücke, schließlich darf man nicht durch Null teilen.

Eine Ersatzfunktion, tja, das kann viele Bedeutungen haben. Meinst du das im Bezug auf die Definitionslücken? Dann könnte gemeint sein, dass sich der Graph der Funktion lückenlos mit einer anderen Funktion weiter führen lassen könnte, in dem du für die Definitionslücken etwas anderes definierst. Klingt kompliziert und ist, zu mindest für mich, ohne grafische Zeichnung nicht ganz einfach erklären.
Kann natürlich auch sein, dass du einfach meinst, dass man eine Funktion durch eine andere ersetzen möchtest, die so ähnlich verläuft. Da wären wir dann, so weit ich weiß, bei Taylor-Polynomen.

Zu den Integralen: Vom Prinzip her hat eine Funktion unendlich viele Stammfunktionen. Die unterscheiden sich aber eigentlich nur in der Konstanten c. Wenn du komplett von den Ergebnissen abweichst, dann wirst du wohl einen Fehler gemacht haben. Tip: Immer ableiten, das geht ja meist flotter und zeigt dir ob du alles richtig gemacht hast.

Zu Umkehrung: Eine Umkehrung kannst du dir so vorstellen, als würdest du deinen Graphen an der 45° Achse im oberen rechten Quadranten/ unteren linken Quadranten spiegeln. Mathematisch bedeutet das, dass du jetzt nicht mehr jedem x ein y, sondern jedem y ein x zuordnest. Ne Idee, was das für eine Voraussetzung mit sich bringt?

14.05.2013, 23:56

chris_78

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Zitat:

Eine Ersatzfunktion, tja, das kann viele Bedeutungen haben. Meinst du das im Bezug auf die Definitionslücken?

Da das direkt im Anschluss steht ist da wohl ein Zusammenhang zu sehen. Ich denke es geht um sogenannte hebbare Definitionslücken. Mal an der Beispielfunktion gezeigt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x³-2x²-x+2}{x²+3x+2} \end{eqnarray*}$

Nullstellen des Nenners sind $\begin{eqnarray*} X_{N1}=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{N2}=-2 \end{eqnarray*}$
Die Nullstellen des Zählers sind $\begin{eqnarray*} X_{N1}=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{N2}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{N3}=2 \end{eqnarray*}$

Folglich lässt sich der ganze Ausdruck auch so schreiben (Stichwort Linearfaktoren):
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)} \end{eqnarray*}$

Man erkennt hier, dass -1 eine hebbare Definitionslücke ist, da man den dazugehörigen Linearfaktor (x+1) hier kürzen kann.
Man erhält dann als Ersatzfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x+2}=\frac{x²-3x+2}{x+2} \end{eqnarray*}$
Diese ist jetzt im Gegensatz zur ursprünglichen Funktion an der Stelle x=-1 definiert, verläuft ansonsten aber genauso wie die ursprüngliche Funktion. Diese hatte nämlich bei x=-1 eine Lücke. Bei x=-2 haben beide Funktionen eine Polstelle (Das heißt, wie der Vorposter so schön schrieb, der Graph haut nahe der Polstelle in Richtung Unendlich ab. Ob + oder - Unendlich gilt es jeweils von beiden Seiten her zu untersuchen. Man spricht auch von senkrechten Assymptoten).

15.05.2013, 14:36

Abitur2013

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Erstmal möchte ich mich für die zahlreichen Antworten bedanken. Vor allem Pol-Stellen und Lücken wurden gut erklärt. Aber zum Integral, muss man nicht zuerst eine Substitution vornehmen...? Ich verstehe nicht wieso man eine Polynomdivision zuerst durchführen muss. Wie erkenne ich sowas? Ich möchte später auch Mathe studieren und es verstehen können Big Laugh

15.05.2013, 15:00

grosserloewe

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Ich hatte gesagt, ich schlage vor..(nur ein Vorschlag)
Polynomdivision muß nur getan werden, wenn der Grad des Zählers > als des
Nenners ist.

Ich tat es deswegen(Erfahrungswert ), weil ich dann eine 1 bekomme und dieses Integral sehr leicht zu lösen ist, deshalb

15.05.2013, 16:16

Abitur2013

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könntest du es mir vorführen? Ich habe es mittlerweise über die Partialbruchzerlegung geschafft. Aber du hast mich echt neugierig gemacht mit der Polynomdivision Big Laugh

. Könntest du die ersten Schritte mal zeigen?

15.05.2013, 16:26

grosserloewe

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ja gern doch:

sorry mein Editor funktioniert iim Moment nicht, aber denke man kann es dennoch erkennen:

(x^2 +2x) : (x^2 -4x +3) = 1 + (6x-3)/(x^2 -4x +3)
- (x^2 -4x +3)
--------------------------
6x -3

das ist alles und dann Partialbruchzerlegung.

15.05.2013, 16:34

Abitur2013

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AH interessant. Ich glaube ich werde deine Methode einstudieren. Kriegt man so etwas auf der Uni beigebracht oder muss man sich sowas schon vorher aneignen, denn als Schüler wäre ich im Leben nicht drauf gekommen...

15.05.2013, 16:43

Mulder

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Du kannst dir das ruhig als Faustregel merken: Wenn du so eine rationale Funktion integrieren willst und der Zählergrad ist größergleich dem Nennergrad: Erstmal Polynomdivision und dann mal weiter gucken.

Und Polynomdivision sollte doch eigentlich Stoff der 10. Klasse sein, oder? verwirrt

Im Prinzip hast du doch in deinem ersten Post auch eine Polynomdivison durchgeführt. Du hast das da nur eher im Kopf gemacht (bzw. versucht), indem du den Zähler geeignet aufgeteilt hast. Aber das kann man halt mit einer Polynomdivison "zu Fuß" machen.

Im Prinzip ist das also nix neues für dich.

Edit: Gute Seite zur Polynomdivison: Klick

Da kannst du dir auch Beispiele vorrechnen lassen und die Schritte werden ausführlich erklärt.

15.05.2013, 23:09

Abitur2013

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Ich weiß, was eine Polynomdivision ist. Aber die Idee eine zu acmehn, darauf bin ich nicht gekommen... Ich möchte nur wissen, wann mach ich Polynomdivision, wann Substitution undso weiter. Und bei meiner ersten Integration habe ich die Brüche nur erweitert und dann zerlegt aber keine Polynomdivision durchgeführt

15.05.2013, 23:12

grosserloewe

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das wurde schon geschrieben:

siehe Beitrag Mulder:

Du kannst dir das ruhig als Faustregel merken: Wenn du so eine rationale Funktion integrieren willst und der Zählergrad ist größergleich dem Nennergrad: Erstmal Polynomdivision und dann mal weiter gucken.

15.05.2013, 23:14

Mulder

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Zitat:

Original von Abitur2013
Ich möchte nur wissen, wann mach ich Polynomdivision, wann Substitution undso weiter.

Wann Polynomdivison gemacht werden muss, wurde ja schon zwei Mal gesagt. Ansonsten: Ein generelles Kochrezept, wann man welches Verfahren zur Lösung eines Integrals anwenden muss, kann man nicht geben. Das mag dir jetzt nicht gefallen, ist aber leider so. Das ist reine Übungssache. Das Integrieren ist sogesehen halt ein bisschen schwieriger als z.B. Ableiten (wo man nur ein paar Regeln hat, die auch ein dressierter Affe auswendig lernen und dann überall anwenden kann Augenzwinkern

Zitat:

Original von Abitur2013
Und bei meiner ersten Integration habe ich die Brüche nur erweitert und dann zerlegt aber keine Polynomdivision durchgeführt

Kommt letztlich eben aufs gleiche raus, auch wenn du das vielleicht im Moment noch nicht siehst.

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