Extremwertaufgabe - komisches Ergebnis

14.05.2013, 18:33

Kimyaci

Extremwertaufgabe - komisches Ergebnis

Die Aufgabenstellung:

Bestimme den Grundkreisradius r, die Höhenlänge h und das Volumen V desjenigen geraden Kreiszylinders, der bei gegebenem Oberflächeninhalt O (O = 6 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ cm² ) maximales Volumen V hat.

Nun ist die Hauptbedingung:

$\begin{eqnarray*} V = \pi r^2 h \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} O = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \end{eqnarray*}$

Nun die Nebenbedingung nach h umformen:

$\begin{eqnarray*} 6 \pi \ cm^2 = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \ cm^2 = r h + r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \ cm^2 - r^2= r h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{3 \ cm^2 - r^2}{r} \end{eqnarray*}$

Die Zielfunktion lautet mithin:

$\begin{eqnarray*} V(r) = \pi r^2 \cdot \left( \frac{3 \ cm^2 - r^2}{r} \right) \end{eqnarray*}$

Oder:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \pi x^2 \left( \frac{3 - x^2}{x} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3 \pi x^2 - x^2 \pi x^2}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{3 \pi x^2 - x^4 \pi}{x} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich ableiten mit der Quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(6 \pi x - 4 \pi x^3) \cdot x - 3 \pi x^2 - x^4 \pi}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{6 \pi x^2 - 4 \pi x^4 - 3 \pi x^2 - x^4 \pi}{x^2} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich ja x² ausklammern:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{x^2 \left( 6 \pi - 4 \pi x^2 - 3 \pi - x^2 \pi \right)}{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 6 \pi - 4 \pi x^2 - 3 \pi - x^2 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3 \pi - 5 \pi x^2 \end{eqnarray*}$

Null setzen und auflösen:

$\begin{eqnarray*} 0 = 3 \pi - 5 \pi x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5 \pi x^2 = 3 \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = \frac{3 \pi}{5 \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x| = \sqrt{\frac{3}{5}} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler? Es soll x = 1 raus kommen.

14.05.2013, 19:37

schultz

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RE: Extremwertaufgabe - komisches Ergebnis

Zitat:

Original von Kimyaci

Nun kann ich ableiten mit der Quotientenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{(6 \pi x - 4 \pi x^3) \cdot x - 3 \pi x^2 \textcolor{red}{+} x^4 \pi}{x^2} \end{eqnarray*}$

da muss schonmal ein plus anstelle eines minus hin

14.05.2013, 19:45

sulo

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RE: Extremwertaufgabe - komisches Ergebnis
Du machst es dir viel zu schwer.

Warum löst du nicht die Klammer auf oder kürzt wenigstens:

$\begin{eqnarray*} V(r) = \pi r^2 \cdot \left( \frac{3 \ cm^2 - r^2}{r} \right) \end{eqnarray*}$

Den Bruch würde ich auf keinen Fall mitschleppen.

Gleiches gilt für die Darstellung mit f(x): Auch hier hättest du zuerst kürzen müssen, der Bruch verschwindet dann und alles wird viel einfacher.
Auch hier würde ich erst die Klammer auflösen und dann ableiten.

Die (unnötig verkomplizierten) Rechnungen habe ich mir im Detail nicht angeschaut.

smile

14.05.2013, 19:50

Kimyaci

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Es war das Vorzeichen, hiernach ergibt sich x = 1, danke an alle (auch für die hilfreichen Tipps)!

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