absolute Konvergenz mit Logarithmus

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tukan19 Auf diesen Beitrag antworten »
absolute Konvergenz mit Logarithmus
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich komme bei folgenden Aufgaben nicht weiter:

Bestimmen und begründen ob und warum folgende Reihen absolut konvergent sind oder nicht:

1.) Summe(k=1->n) von (log(k)/k^3)

2.) Summe(k=1->n) von (sin(k)/k!)
und
3.) Summe(k=1->n) von (6*(-1)^k)

Meine Ideen:
Meine Ansätze für

1.) ich hätte den Ausdruck erstmal geteilt: 1/k^3 * log(k) und dann lim(1/k^3) * lim(log(k)) und das wäre ja 0*lim(log(k)) also 0. Für die absolute Konvergenz muss man ja den Betrag des Ausdruck beobachten, aber da ändert sich ja eigentlich nichts, oder? und wie konvergiert log(k) bzw der Betrag des Logarithmus?

2.) hier hätte ich mit dem Majorantenkriterium argumentiert, Betrag(sin(k)/k!) <= 1/k! , also absolut konvergent?

und 3.) wäre ja der lim inf = -6 und der lim sup= 6, also offensichtlich divergent. Nimmt man aber den Betrag hat man ja als Grenzwert 6?

Bitte helft mir unglücklich
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Wollte gerade fragen ob mein Ergebnis stimmt Kommitone Big Laugh
 
 
tukan19 Auf diesen Beitrag antworten »
absolute Konvergenz mit Logarithmus
Big Laugh ich verstehe dein QK nicht, könntest du das noch mal erklären?
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schauen ob die reihe konvergent ist. Das machst du indem du erst die Notwendige Bedingung nutzt, also dass die folge von der reihe eine nullfolge ist, erfüllt sie das kann sie aber muss sie nicht konvergent sein.

Dann probierst du ein passendes weiteres Kriterium aus. Hier sieht man das, dass das Quotientenkriterium (QK) am besten passt, zumindest meiner Meinung nach. Ist das Ergebnis größer als 1 dann divigiert auch die reihe. Analog ist sie konvergent. Ist sie gleich 1, so versagt das Kriterium und ein weiteres muss ausprobiert werden.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hier hätte ich mit dem Majorantenkriterium argumentiert, Betrag(sin(k)/k!) <= 1/k! , also absolut konvergent?


Falls ihr bereits gezeigt habt, dass die Folge 1/k! summierbar ist, so reicht das.

Zitat:
3.) Summe(k=1->n) von (6*(-1)^k)

Sieh dir hier nochmal das Trivialkriterium an.


Zu 1:

Das Ergebnis von Hansi ist nicht richtig!
Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder divergiert nicht, da hast du irgendwo eine fehlerhafte Überlegung. Das ist mir aber auf dem Zettel zu geschmiert. Bitte leserlich in Latex schreiben, falls du eine Fehleranalyse möchtest.

Allgemein kann ich aber sagen, dass das Quotientenkriterium hier keine Aussage liefern wird. Schaut euch nochmal den Cauchy Verdichtungssatz an.

Falls ihr schon gezeigt habt, dass 1/k^2 summierbar ist, könntet ihr alternativ auch zeigen, dass die Reihe über diese Folge eine Majorante darstellt.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reihe lautet wie folgt: S_{n}:=\sum\limits_{k=1}^n \frac{log(k)}{k^3}

Das Nullfolgenkriterium zeigt, dass der limes der Folge gegen 0 läuft. Also kann sie konvergent sein.

Mithilfe des Quotientenkriteriums folgt:

\lim_{k \to \infty } \frac{log(k+1)}{(k+1)^3}* \frac{k^{3} }{log(k)}

Man sieht doch jetzt sofort, das der linke Term gegen Null läuft, da Nennerpolynom extrem schnell wächst im Gegensatz zum Zähler. Und der Rechte Term läuft gegen unendlich, da der Zählerpolynom schneller wächst. Darauas folgt, aus dem Quotientenkriterium, dass die Reihe divigiert bzw. nicht absolut konvergent ist.

Weshalb ist die Überlegung falsch ?
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, muss nochmals Antworten da ich etwas vergessen hatte und nicht Editieren kann.

Die Reihe lautet wie folgt:

Das Nullfolgenkriterium zeigt, dass der limes der Folge gegen 0 läuft. Also kann sie konvergent sein.

Mithilfe des Quotientenkriteriums folgt:



Man sieht doch jetzt sofort, das der linke Term gegen Null läuft, da Nennerpolynom extrem schnell wächst im Gegensatz zum Zähler. Und der Rechte Term läuft gegen unendlich, da der Zählerpolynom schneller wächst. Darauas folgt, aus dem Quotientenkriterium, dass die Reihe divigiert bzw. nicht absolut konvergent ist.

Weshalb ist die Überlegung falsch ?
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mein Fehler gefunden. Moment. Ist ja Multiplikation. Big Laugh
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

gelöscht, da Erkenntnis von selber kam Freude
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte mal eine Frage. Weshalb liefert das QK keine Aussage? Gilt 0 mal Unendlich etwa nicht? Das wäre ja null und das bedeutet sie wäre absolut konvergent.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das gilt nicht. Eine Regel wie für Grenzwerte gibt es nicht!

Beispiel: .

Konvergiert die gegen 0? Es steht ja 0 mal unendlich, wenn man die Einzelgrenzwerte bildet. Augenzwinkern
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann war das wohl mein Denkfehler. Ich würde mir jetzt ungern ein weiteres Kriterium aneignen (Cauchy Verdichtungssatz). Komm ich etwa mit folgenden Kriterien nicht weit? Nullfolgenkriterium,Quotientenkriterium,Wurzelkriterium,Grenzwertkriterium,
Integralkriterium, Majo-/Minorantenkriterium und das Leibnizkriterium. Der Cauchy Verdichtungssatz wurde bisher auch nicht in der Vorlesung erwähnt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn er noch nicht in der Vorlesung gezeigt wurde, solltest du ihn auch nicht verwenden.

Alternativ kannst du, wie ich bereits sagte, zeigen, dass

gilt. Dann ist nämlich die Reihe über 1/k^2 eine Majorante. Habt ihr deren Konvergenz denn schon gezeigt? Also, dass 1/k^2 eine summierbare Folge ist?

Edit:
Was mich wundert ist, dass ihr das Integralkriterium schon hattet, nicht aber den Verdichtungssatz.
Quotienten/Wurzelkrit. geben hier keine Aussage. Das Integralkriterium schon, ich bin mir aber nicht sicher, wie schwierig es anzuwenden ist in diesem Beispiel. Hab grad keine Zeit, das nachzurechnen.

Am einfachsten ist sicherlich der Weg über 1/k^2, wenn man den Verdichtungssatz nicht zur Verfügung hat.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Integralkriterium hab ich mir mal aus langeweile angeschaut.^^ Bezüglich der Reihe 1/k^2 haben wir hier eine Menge Aufgaben ebenfalls. Beweise bezüglich des Majorantenkriteriums.

Ich wollte gerne wissen, weshalb denn das Wurzelkriterium nicht funktioniert, denn eigentlich kommt doch 0 heraus?

,

da ja eigentlich die n-nte Wurzel von 0 betrachtet wird mit k gegen unendlich.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch das ist ein Trugschluss. Du ziehst nicht die k-te Wurzel aus 0, sondern aus einer Folge, die gegen 0 konvergiert. Das Wurzelziehen wirkt diesem Grenzprozess entgegen. Je höhere Wurzeln man aus Zahlen zwischen 0 und 1 zieht, desto größer werden sie. Deswegen kannst du nicht zuerst den Grenzwert in der Wurzel berechnen und dann den Wurzelexponenten gegen unendlich laufen lassen. Beides muss gleichzeitig geschehen.

Dazu auch ein Beispiel:

. Dies ist offensichtlich keine Nullfolge. Wäre sie aber nach deiner Argumentation
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre 0,5 oder? Man kann die Wurzelgesetze anwenden, und dann löst sich der exponent von 2 auf und Wurzel 1 ist 1. Das impliziert 0,5.

Ist das korrekt? Mich würde interessieren wann das Wurzelkriterium kein Sinn macht. Ich verstehe das gerade nicht so richtig. Müssen da exakte Zahlen rauskommen?
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich habe es verstanden. Liegt es wahrscheinlich darin, dass die n-te Wurzel gleich schnell wächst wie die Variable selbst?^^

Welches Kriterium wäre denn anzuwenden deiner Meinung nach mit unserem Wissen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mich würde interessieren wann das Wurzelkriterium kein Sinn macht.

Der Grenzwert für k -> unendlich von der k-ten Wurzel aus dem Betrag von a_k muss halt kleiner als 1 sein. (bzw. eigentlich der limsup, die Wurzelfolge muss nicht konvergieren).
Das ist er bei dir einfach nicht. Das hat nichts mit dem Wurzelkriterium zu tun, sondern damit, dass du zur Zeit nicht weißt, wie du den Grenzwert berechnen sollst und stattdessen Pseudogesetze verwendest, die einfach keine Gültigkeit haben.


Zitat:
Welches Kriterium wäre denn anzuwenden deiner Meinung nach mit unserem Wissen?


Das habe ich nun in dem Thread schon 2 mal geschrieben.
Schau dir bitte nochmal meinen Beitrag von 19:29 an.

Edit:
Oder habt ihr tatsächlich noch nicht die Konvergenz von zur Verfügung ?
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, aber es ist Hausaufgabe diese zu untersuchen. Anscheinend ist dies eine wichtige Vegleichsfolge, da sie konvergiert wie du es sagst.

Also du sagst, dass die Reihe 1/k^2 eine Majorante von meiner vorgegebenen Logarithmus Folge ist. Und weil die Reihe 1/k^2 konvergiert impliziert dies, dass auch die Logarithmusreihe absolut konvergiert? Wenn das stimmmen sollte, wie bist du darauf gekommen, dass 1/k^2 eine Majorante von log(k)/k^3 ist? Du sagst, dass ln(k)/k <1 ist. Und 1/k^2 hiervon die Majorante ist.

Dann hast du wahrscheinlich log(k)/k^3 verglichen mit ln(k)/k, da beide Folgen etwa dieselben Werte annehmen und beide kleiner sind als 1 Und da auch log(k)/k^3 kleiner als 1 ist sollte die Reihe 1/k^2 auch eine Majorante von log(k)/k^3 sein.

Ich hoffe ich habe das nicht so umständlich wiedergegeben. Aber ich denke ich habe es verstanden oder?^^
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, machen wir erstmal diese Aufgabe fertig unter der Annahme, dass die Konvergenz von bereits gezeigt ist. (Das können wir dann später erledigen).

Aus


folgt

Jetzt sollte klar sein, worauf ich damit hinaus will oder?
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe es verstanden.

Aber kann man darauf nicht auch wie folgt kommen:



, da hier der Nennerpolynom ja noch schneller wächst als nur bei .

Und weil eine Majorante von ist, muss auch eine Majorante von
sein.

So nebenbei erwähnt. Du hast mir heute eine Menge Wissenslücken gefüllt
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ist das hier:

Zitat:
Und weil eine Majorante von ist,
einfach falsch. Genau das Gegenteil ist der Fall.


Aber, nehmen wir mal an, du hättest eine Majorante für .

Du hast:

(was du übrigens dafür auch noch zeigen musst)

und auch




Wenn du jetzt noch hinzunimmst, folgt daraus aber noch lange nicht

Dafür müsstest du zeigen, dass . Dann folgt auch

Dies ist auch in der Tat der Fall, da offensichtlich ist. Wir haben allerdings immernoch das Problem, dass deine Majorante einfach keine ist. Deswegen sollte man doch den anderen Weg gehen, um zu zeigen, dass eine geeignete Majorante ist.

Zitat:
So nebenbei erwähnt. Du hast mir heute eine Menge Wissenslücken gefüllt

Das freut mich.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo gehen wir bitte wieder einen Schritt zurück.

Ich habe nun folgende Ungleichung verstanden:


folgt

Bezieht sich den das auch auf deren Reihen? Wenn ja, dann muss die Reihe von 1/k^2 eine Majorante von der Reihe lnk/k^3 sein richtig?

Langsam fang ich an zu verstehen was du mit der Ungleichung zu bewirken magst. Ich denke aber alles in allem brauche ich noch etwas Übung in vor allem Vergleichskriterien.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau die dafür erst nochmal die genaue Formulierung des Majorantenkriteriums für Reihen an. Das sollte sich eigentlich auf die summierten Folgen beziehen.

Ich bin erstmal weg, einen Film schauen. Ich guck in 2 Stunden nochmal rein.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok super, ich werde dann mal dranbleiben und bedanke mich für deine sehr große Hilfsbereitschaft! Aber schau dann bitte hier im Thread in 2 Stunden wieder nach.^^

Kann ich dich noch kurz etwas fragen? Man sieht doch auf den ersten Blick das die Reihe 6*8-1)^k nicht absolut konvergent ist, da ihr Betrag +Unendlich ist. Wie kann ich das beweisen? Und wie entscheide ich über die Divergenz bzw. konvergenz von der Reihe 6*(-1)^k. Ist das den nicht Null, da sich die Partialsummen auflösen? Oder muss ich hier irgendwie mithilfe des Leibnizkriteriums tatsächlich aussagen ob diese Reihe konvergiert oder nicht.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich meine die absolute Konvergenz von der Reihe 6*(-1)^k
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das die Reihe von 6*(-1)^k nicht absolut konvergent ist kann man leicht zeigen mithilfe des Nullfolgenkriteriums.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich hab jetzt mithilfe des Leibnizkriteriums gezeigt, dass die Reihe nicht konvergiert, da die monoton fallende Nullfolge nicht erfült wird (-6,+6,-6,+6, ...) und das die Folge a_n also 6 keine Nullfolge ist, somit ist sie weder absolut noch ,,normal" konvergent.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 6*(-1)^k kannst du doch einfach zeigen, dass das keine Nullfolge ist. Dann hast du's doch. (Nicht nur, dass sie dann nicht absolut konvergent ist, sie ist dann auch nicht (nicht absolut) konvergent.)
Leibnitz kannst du da eigentlich nicht anwenden(auch nicht zum Zeigen von Divergenz).
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum kann ich Leibniz nicht anwenden, abgesehen davon, dass es das Nullfolgenkriterium auch macht.

Ich kann doch einfach nur die 6 betrachten und schauen ob diese Folge monoton fallend ist und eine reele Nullfolge ist. Und anscheinend ist sie beides nicht. Ich habe jetzt auf das Leibnizkriterium getipt, da die Folge alternierend war (-1)^k * 6, wobei 6=a_n.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Leibnitz Kriterium macht folgende Aussage:

Bedingung erfüllt => Konvergenz

Das heißt NICHT

Bedingung nicht erfüllt => keine Konvergenz

Das sind zwei verschiedene Sachen und sollte man nicht vermischen.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, auf sowas muss ich achten. Das bedeutet dann, dass bereits allein das Nullfolgenkriterium beweisen tut, dass die Reihe weder absolut Konvergent noch ,,normal" konvergent ist. Gibt es da einen speziellen Begriff für die ,normale" konvergenz?

Übrigens, gilt denn nun eigentlich folgendes auch für dessen Reihen:

folgt

Dann wäre ja die Logarithmusfunktion konvergent da ihre Majorante konvergent ist.

Jetzt hab ich noch weitere Reihen überprüft, hoffe ich habe es richtig gemacht:

1) Sn:=Die Reihe von log(k) -> Das Nullfolgenkriterium wird nicht erfüllt, da sie gegen unendlich wächst, somit ist sie weder absolut- noch ,,normal" konvergent (gar nicht konvergent)

2) Sn:=Die Reihe von ((-1)^k)/Wurzelk -> Mithilfe dem Leibnizkriterium kann ich zeigen das der lim von 1/Wurzelk mit k gegen Unendlich gegen 0 läuft. Außerdem ist 1/Wurzelk monoton fallend. Deshalb ist diese Folge Konvergent! Bezüglich der Absoluten Konvergenz ist mir kein geeignetes Kriterium eingefallen, aber ich vermute dass das Wurzelkriterium funktionieren tut, da ja im Enddeffekt für den Betrag dieser Folge folgendes herauskommt:

1/Doppelwurzelk, wobei das gegen 0 läuft mit n gegen unendlich. Außerdem ist das Nullfolgenkriterium erfüllt.

3) Die Reihe von sin(k)/k! Welches Kriterium macht hier sinn? Es ist eine alternierende Reihe, dann muss ich doch das Leibniz Kriterium anwenden? Natürlich nach dem Nullfolgenkriterium. Und was ist eigentlich der Betrag dieser Folge um die absolute konvergenz zu überprüfen?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann wäre ja die Logarithmusfunktion konvergent da ihre Majorante konvergent ist.


Hää? Welche Logarithmusfunktion ist konvergent und welche Majorante? Bitte spezifizieren.


Zitat:
1) Sn:=Die Reihe von log(k) -> Das Nullfolgenkriterium wird nicht erfüllt, da sie gegen unendlich wächst, somit ist sie weder absolut- noch ,,normal" konvergent (gar nicht konvergent)

Richtig.


Zitat:
Sn:=Die Reihe von ((-1)^k)/Wurzelk ........ Bezüglich der Absoluten Konvergenz ist mir kein geeignetes Kriterium eingefallen, aber ich vermute dass das Wurzelkriterium funktionieren tut, da ja im Enddeffekt für den Betrag dieser Folge folgendes herauskommt:


Such dir eine divergente Minorante. Stichwort: Harmonische Reihe.


Zitat:
3) Die Reihe von sin(k)/k! Welches Kriterium macht hier sinn? Es ist eine alternierende Reihe, dann muss ich doch das Leibniz Kriterium anwenden? Natürlich nach dem Nullfolgenkriterium. Und was ist eigentlich der Betrag dieser Folge um die absolute konvergenz zu überprüfen?

Sieh dir mal an, was dein Kommilitone dazu geschrieben hat.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid.^^ Ich meine eigentlich die Logarithmische Reihe mit log(k)/k^3.

folgt

Also ob die Ungleichungen für ihre Reihen ebenfalls gelten und nicht nur für ihre Folgen. Den ich brauche ja eine Reihe die Majorant gegenüber lnk/k^3 ist. Und das sollte glaube ich die Reihe 1/k^2 sein.

Ich lese mich mal etwas in Vergleichskriterien weiter ein. Happern tut es ja leider etwas immer noch.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, lies dir nochmal das Vergleichskriterium genau durch. Dort werden nämlich eigentlich nur die summierten Folgen verglichen. Zumindest in der Version, die ich kenne.

Zu deiner anderen Frage:

Falls Folgen in sind und für alle gilt, so folgt
(nur wenn beide Reihen konvergent sind, das ist wirklich wichtig!):

.


Allerdings: Damit eine Majorante für ist, muss nur ab einem (möglicherweise sehr weit hinten liegenden) Folgenglied gelten und nicht ab dem ersten an. Daraus, dass die eine Reihe eine Majorante für die andere ist, kann man also nicht schließen.

Edit: Bin jetzt offline. Ich würde einen anderen Helfer bitten, zu übernehmen.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Wann benutzt man eigentlich das Majorantenkriterium und wann ist es besser das Minorantenkriterium zu nutzen? Ich lese bei manchen Beispiel das eines bessser geeignet sei als das andere.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Thema kann wohl beendet werden! Ich denke ich habe es jetzt verstanden. Wenn ich spezielle Fragen habe werde ich es tun! smile Naja, nach dem man sich 5 Stunden mit diesem blöden Kriterium (Majorantenkriterium) befasst hat, fangenendlich an die Glocken zu leuten.
Hansi7878 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte nochmal gerne folgende Bestätigung bekommen.^^

So, ich habe jetzt die Reihe log(k)/k^3 mithilfe des Majorantenkriteriums gelöst , da log(k)/k^3=(log)k/k *1/k^2<1/k^2 und die reihe 1/k^2 bekanntlich konvergiert, konvergiert auch log(k)/k^3

Die Reihe (-1)^k/Wurzelk habe ich zunächst auf absolute konvergenz überprüft. Das Nullfolgenkriterium scheint erfüllt zu sein. Dann habe ich das Minorantenkriterium angewendet. Es folgt:

1/Wurzelk<1/k. Und da bekanntlich die Reihe 1/k divergent ist, ist auch 1/wurzelk divergent und dies impliziert das die reihe nicht absolut konvergent ist! Die Reihe an sich ist aber konvergent! Mithilfe des Leibnizkriterium (Nullfolge + monoton falend Nullfolge) wird erfüllt!

Ich habe eine Menge dazugelernt. Stimmem meine Ergebnisse?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt fast. Du hast an dieser Stelle die Ungleichung falsch herum:

1/Wurzelk<1/k

Eigentlich muss da 1/Wurzelk>1/k stehen. Erstmal ist das dann richtig und zweitens macht es auch Sinn. Die Reihe über 1/Wurzelk könnte ja immernoch konvergieren, wenn sie stets kleiner als die andere ist. Anders herum wird ein Schuh draus.
Der Rest scheint mir richtig zu sein. Im Aufschrieb aber natürlich alles ausformulieren.


Zitat:
Ich habe eine Menge dazugelernt.

Sehr schön, man keine deine Fortschritte im Verlauf des Threads auch sehen Augenzwinkern
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