Stochastik Wahrscheinlichkeit

14.05.2013, 19:07

Rinaa

Stochastik Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo Miteinander,
ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Markus ziehlt an der Schießbude mit dem 1 Schuss auf einen Schraubenzieher, mit dem zweiten auf eine Rose und mit dem 3. auf einen Glücksbringer. Seine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 50%. Seine Freundin Carmen interessiert sich nur ob er die Rose getroffen hat. Und zur Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er die Rose trifft wenn Carmen erfahren hat dass er a) mindesten einmal getroffen hat b) höchstens einmal getroffen hat c) mindestens zweimal getroffen hat d) mindestens einmal daneben geschossen hat.

Meine Ideen:
So mein Ansatz ist erstmal so:
Da bei jedem der 3 Teile die Trefferquote 50% besteht, und 50% man auch als 1/2 schreiben kann, bin ich auf die Lösung 1/8 gekommen für die Wahrscheinlichkeit von einem Treffer. Aber nun komme ich überhaupt nicht mehr weiter. Neben der Aufgabe im Buch steht auch die Lösungen allerdings eben nur die Ergebnisse die wären: 4/7 ; 1/4 ; 3/4 ; 3/7 aber ich kann mir nicht erklären wie man daraufkommt. Danke!

14.05.2013, 22:35

DerJFK

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Hallo,

die Lösungen passen für mich nicht ganz zu der Aufgabe. Außer ich irre mich, aber du kannst deine Aufgabe folgend formulieren:

Wir haben drei Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,X_3 \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ wobei jede Zufallsvariable die Konstante wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(X_i)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ besitzt für jede Möglichkeit.

Weiter sind die Zufallsvariablen unabhängig (jedenfalls wurde nichts anderes angegeben) und somit gilt für die gemeinsame Verteilung $\begin{eqnarray*} p(X_1,X_2,X_3) = p(X_1) \cdot p(X_2) \cdot p(X_3) = \frac{1}{8} \end{eqnarray*}$ .

Zu den Aufgaben

a) Es steht, mindestens einmal getroffen unter der Vorraussetzung, dass auch die Rose getroffen wurde. Wir können es hier einfach machen und fragen, wie viele möglichkeiten gibt es, dass $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 +X_3 \ge 1 \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} X_2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Es sind 4 Möglichkeiten und da alle gleichverteilt sind

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

was schon irgendwie keiner deiner Lösungen entspricht. Die anderen Aufgaben sind dann genau gleich, Möglichkeiten zählen und mit 1/8 Multiplizieren.

a) 1/2 b) 1/8 c) 3/8 d) 3/8

Hoffe ich habe nichts übersehen.

14.05.2013, 22:48

chris_78

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Hallo,

Deine 1/8 sind leider auch nicht die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer.
Wenn Du Dir ein Baumdiagramm dazu aufzeichnest wirst Du sehen dass es 3 Pfade gibt die zu genau einem Treffer führen.
Nämlich TKK KTK und KKT
(T=Treffer K=kein Treffer)
Und jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit 1/8. Macht also eine Wahrscheinlichkeit von 3/8 für die Wahrscheinlichkeit von genau einem Treffer.
Nun will Carmen aber ja wissen wie groß die Wahrscheinlichkeit für das Treffen der Rose ist. Wenn sie keine weitere Informationen hat, außer dass die Trefferwahrscheinlichkeit 50% beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Treffen der Rose eben genau diese 50%=1/2.

Dies ändert sich aber durch die weitere Information, die Carmen jeweils in den Aufgaben hat. Wüsste sie z.B. dass er alle 3 getroffen hat, wäre es ja ganz offensichtlich klar, dass er auch die Rose getroffen hat und die Wahrscheinlichkeit wäre 100%=1.
Was Dir da weiterhilft ist der Satz von Bayes:
$\begin{eqnarray*} P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}\ \end{eqnarray*}$
Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A unter der Bedingung B.
In meinem Bespiel die Wahrscheinlichkeit für das Treffen der Rose A unter der Bedingung B, dass er alle drei getroffen hat. Mit P(A)=1/2 (Treffen der Rose)
und P(B)=1/8 (Treffen aller 3 Schüsse). Das P(B|A) in der Formel meint dann die Wahrscheinlichkeit für das Treffen aller 3 Schüsse unter der Bedingung, dasss die Rose getroffen wurde. Und falls die Rosse getroffen wurde ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch noch die beiden anderen Schüsse getroffen haben (1/2)*(1/2)=1/4
Alles in die Formel eingesetzt ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{4}*\frac{1}{2}}{\frac{1}{8}}=1 \end{eqnarray*}$

Analog kannst Du nun auch Deine Aufgaben rechnen

14.05.2013, 22:55

chris_78

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Zitat:

Original von DerJFK
die Lösungen passen für mich nicht ganz zu der Aufgabe. Außer ich irre mich

Ich mache es kurz. Du irrst Dich... siehe mein Post. Die Ergebnisse aus dem Buch stimmen auch

14.05.2013, 23:12

chris_78

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Zitat:

Original von DerJFK
Wir können es hier einfach machen und fragen, wie viele möglichkeiten gibt es, dass $\begin{eqnarray*} X_1 + X_2 +X_3 \ge 1 \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} X_2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Es sind 4 Möglichkeiten und da alle gleichverteilt sind

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da steckt übrigens auch der Fehler. Die Möglichkeit $\begin{eqnarray*} X_1=0 ; X_2=0 ; X_3=0 \end{eqnarray*}$ ist nämlich nicht mehr möglich, da man ja schon weiß, dass es mindestens einen Treffer gab. Somit müsste hier mit 1/7 multipliziert werden und man erhält auch die richtige Lösung 4/7

14.05.2013, 23:37

DerJFK

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Okay danke,...

jetzt ist mir auch klar was du meinst. Ich habe nur gerechnet wie die Wahrscheinlichkeit wäre wenn er mindestens einmal getroffen hätte und die Rose dabei wäre,... aber die Voraussetzung ist ja schon, dass ich weiß, dass er mindestens einmal getroffen hat. Also "bedingt" nicht "und".

Immer ein Fehler über den man häufig stolpert.

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