Bestimmung der Varianz und des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen X

24.02.2007, 11:37

brunsi

Bestimmung der Varianz und des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen X

gegeben sei die normalverteilte Zufallsvariable X. Es ist bekannt, dass in 15,87% aller Fälle der Wert von X kleiner als 4 und in 2,5% aller Fälle größer als 21,76.

Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen.

Meine Überlegung war nun:

Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{eqnarray*} P(X<4)=15,87% \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(x>21,76)=2,5% \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich, dass für eine Normalverteilte Zufallsgröße gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x;\mu,{\sigma}^2)=\int_{-\infty}^{x}~f(u;\mu;{\sigma}^2)~du \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(u;\mu,{\sigma}^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma}^2}}\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} \end{eqnarray*}$

anschließend müsste ich integrieren, obwohl ich nichtw eiß wie das funktioniert und für beide Wahrscheinlichkeiten P(x) dann nach einer der Gesuchten Größen auflösen. anschließend gleichsetzen und die eine gesuchte Größe berechnen. mit dieser berechneten Größe anschließend die letzte der beiden gesuchten Görßen berechnen.

Ist dass so weit richtig??

Geht es auch viel einfacher???

24.02.2007, 18:15

yeti777

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RE: Bestimmung der Varianz und des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen X
Hallo brunsi!

Ja, dein Gedankengang ist bis hierhin richtig und ja, es geht einfacher.

Das Integral für die Normalverteilung kann man nicht geschlossen lösen. Deshalb greift man auf die Standardnormalverteilung zurück mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu =0 \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma =1 \end{eqnarray*}$ . Das ist dir sicher bekannt.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 4) \Rightarrow P(U= \frac{X - \mu}{\sigma } \leq u_{\alpha})= 0.1587\Rightarrow u_{\alpha}= \Phi^{-1}(0.1587) \end{eqnarray*}$ (mit Tabelle)

Dann: $\begin{eqnarray*} \frac{X - \mu}{\sigma } \leq u_{\alpha }\Rightarrow X\leq \mu+ \sigma u_{\alpha }= 4 \end{eqnarray*}$ , 1. Gleichung

Analog verfährst du mit der zweiten Angabe. Du erhältst ein GLS für die Variablen $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Zur Kontrolle: Wenn ich so verfahre, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \mu=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=6 \end{eqnarray*}$

Würde mich freuen, wenn du mein Resultat bestätigen könntest.

Gruss yeti

25.02.2007, 09:47

brunsi

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RE: Bestimmung der Varianz und des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen X
naja, wenn ich das Gleichungssystem löse, dann erhalte ich für $\begin{eqnarray*} mu=10,20979021 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \sigma=6,20979021 \end{eqnarray*}$

Da die beiden Nachkommwerte exakt übereinstimmen, kann ich sie auch weglassen und habe dann deine Werte.

25.02.2007, 11:52

yeti777

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RE: Bestimmung der Varianz und des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen X

Zitat:

Original von brunsi
naja, wenn ich das Gleichungssystem löse, dann erhalte ich für $\begin{eqnarray*} mu=10,20979021 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \sigma=6,20979021 \end{eqnarray*}$

Da die beiden Nachkommwerte exakt übereinstimmen, kann ich sie auch weglassen und habe dann deine Werte.

Diese Argumentation verstehe ich nicht verwirrt

.

Ich gebe zu, ich habe etwas gerundet. Meine Zahlen, auf 6 Dezimalen nach dem Komma, lauten:

$\begin{eqnarray*} \mu =9.999338,\,\,\sigma =6.000448 \end{eqnarray*}$

Gruss yeti

25.02.2007, 11:57

brunsi

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RE: Bestimmung der Varianz und des Erwartungswertes einer normalverteilten Zufallsvariablen X
naja wenn ich die ganze nachkommastellen weglasse, erhalte ich genau das gleiche ergebnis für

$\begin{eqnarray*} u_{alpha}=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ als wenn ich die Nachkommastellen für die beiden Parameter mit in die Rechnung einfließen lasse!!

edit: muss aber zugeben, dass ich, wenn ich deine Gleichunegn auflöse exakte Werte für die Parameter heruasbekomme!!

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