Differentialgeometrie: Vektorfeld, Lieklammer, Basis, lokaler Fluss

14.05.2013, 21:23	diffgeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgeometrie: Vektorfeld, Lieklammer, Basis, lokaler Fluss Meine Frage: Also ich muss eine Aufgabe aus dem Bereich der Differentialgeometrie lösen, habe aber leider nicht wirkliche einen Plan was da abgeht :-( Bei der Aufgabe betrachten wir auf dem $\begin{eqnarray} S^3 \end{eqnarray}$ die Vekorfelder: $\begin{eqnarray} X_1=(-y,x,-w,z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_2=(z,-w,-x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_3=(-w,-z,y,x) \end{eqnarray}$ 1. z.z. $\begin{eqnarray} X_1,X_2,X_3 \end{eqnarray}$ bilden eine Basis von $\begin{eqnarray} T_{(x,y,z,w)}S^3 \end{eqnarray}$ 2. Berechne $\begin{eqnarray} \left[ X_i,X_j \right],\; i,j=1,2,3 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \left[ \cdot, \cdot \right] \end{eqnarray}$ die Lieklammer ist 3. Bestimme den lokalen Fluss zu $\begin{eqnarray} X_i, \; i=1,2,3 \end{eqnarray}$ (sind $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ Killingvektorfelder) Meine Ideen: da ich wirklich keine Ahnung habe sind meine Ansätze etwas dürftig: zu 1: also ich habe beim Googeln herausgefunden, dass eine Koordinatenbasis auch Basis eines Tangentialraums genannt wird, also vermute ich, dass sowas gezeigt werden soll, aber dafür bräuchte man wohl die Parametrisierung, aber auch das ist für mich ein Buch mit sieben Siegeln. zu 2: die Lieklammer hat verschiedene Definitionen z.B.: $\begin{eqnarray} \left[ X,Y \right] =XY-YX \end{eqnarray}$ , mit X,Y Vektorfeldern, aber um das ausrechnen zu können müsste man ja immer einen Vektor transponieren und ich weiß nicht ob das einfach so geht. Falls es geht wäre es ja easy. zu 3: Ein Vektorfeld ist ein Killingvektorfeld wenn sein maximaler Fluss aus Isometrien besteht, d.h. die Frage in der Klammer kann man beantworten wenn man den lokalen Fluss hat, aber weiter komm ich leider nicht :0( ich hoffe wirklich mir kann irgendjemand helfen Licht in die Dunkelheit zu bringen, bin echt am verzweifeln!!! Vielen Dank schon mal im voraus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »