Substitution der Integralgrenzen

14.05.2013, 23:26

voodoo

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Substitution der Integralgrenzen

Hey

smile

hab hier wieder sonne aufgabe, wo ich nicht wirklich weiter weiß...

Berechnen sie das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{3+cos x} \, dx \end{eqnarray*}$

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t = tan \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ unter gleichzeitiger Substitution der Intervallgrenzen.

hab das nicht so wirklich verstanden. wie kommt man überhaupt auf diese substitution?
$\begin{eqnarray*} tan=\frac{sin}{cos} \end{eqnarray*}$ oder nicht?
$\begin{eqnarray*} tan^{-1} = \frac{cos}{sin} \end{eqnarray*}$ , aber dann hab ich doch einen sin drinne :/

komm da nicht wirklich weiter...

14.05.2013, 23:39

original

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RE: substitution der Integralgrenzen

Zitat:

Original von voodoo

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{3+cos x} \, dx \end{eqnarray*}$

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} t = tan \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

unter gleichzeitiger Substitution der Intervallgrenzen.
..

komm da nicht wirklich weiter.. smile

smile

.

smile

-> genau dann ist Substitution $\begin{eqnarray*} t = tan \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$
ein alt - bewährter letzter Versuch
der meist bei störrischen Integralen mit Winkelfunktionen
zu einem Erfolgserlebnis verhelfen kann..

also hier ist das auch so

und die Grenzen solltest du auch auf die neue Variable t umrechnen
dann brauchst du auch am Schluss zur Berechnung des Wertes
des bestimmten Integrals nicht mehr Rück-substituieren..

also versuchs mal .. es wird funktionieren! Wink

Wink

.

14.05.2013, 23:50

grosserloewe

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RE: substitution der Integralgrenzen
Wink

Wink

gemäß Wikipedia:

Diese Substitution heißt die sogenannte Weierstraß-Substitution

In der Integralrechnung wird die Weierstraß-Substitution, benannt nach Karl Weierstraß
genutzt , um Integrale mit der Sin und cos Funktion in rationale Integrale umzuwandeln.

Das bedeutet, Du mußt folgendes tun:

Ersetze:

$\begin{eqnarray*} \cos(x) =\frac{1-t^{2} }{t^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} dx= \frac{2 dt}{1+t^{2} } \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 00:29

voodoo

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ok also wenn ich den cos substituiere:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

will ich jetzt den doppelbruch weglösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{1}{\frac{3+3t^2}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} = \frac{1}{\frac{3+3t^2+1-t^2}{1+t^2}} = \frac{1+t^2}{3+3t^2+1-t^2} = \frac{1+t^2}{4+2t^2} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1-t^2}{4+2t^2} \frac{2}{1+t^2} \, dt = \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{8+4t^2-8t^4-4t^6}{4+6t^2+2t^4} \, dt \end{eqnarray*}$

das sieht irgendwie mega falsch aus -.-
ansonsten würde ich polynomdivision machen...
substituieren soll das ganze doch einfacher machen und nicht noch komplizierter...

15.05.2013, 00:35

Kimyaci

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1 \textcolor{red}{-}t^2}{4+2t^2} \frac{2}{1+t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

Dort gehört ein Pluszeichen hin.

15.05.2013, 00:39

grosserloewe

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Wink

das ist leider so falsch

die erste Zeile stimmt, die 2.te auch

dann folgt daraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} +1}{3(t^{2}+1) +1 -t^{2} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{2}{t^{2}+1} dt \end{eqnarray*}$

Weiterer Weg:

1.) 2 im Nenner ausklammern und als Faktor vor das Integral ziehen
2.) Substtution:

$\begin{eqnarray*} z= \frac{t }{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

3.)Resubstituieren

dann bist Du fertig

smile

smile

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15.05.2013, 00:45

voodoo

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oh ja natürlich...
hab ich davor ja auch geschrieben :/

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1+t^2}{4+2t^2} \frac{2}{1+t^2} \, dt = \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{8+20t^2+16t^4+4t^6}{4+6t^2+2t^4} \, dt \end{eqnarray*}$

mit polynomdivision bekomm ich dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{8+20t^2+16t^4+4t^6}{4+6t^2+2t^4} = 2t^2+2 \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 00:48

grosserloewe

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Wink

nein

kürze doch mal bitte, was folgt?

15.05.2013, 00:56

voodoo

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hä

$\begin{eqnarray*} \frac{t^2+1}{3(t^2+1)+1-t^2} = \frac{t^2+1}{2t^2+4} \end{eqnarray*}$

oder nicht? ich bin grad ein bisschen verwirrt...

15.05.2013, 06:51

grosserloewe

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Wink

Du kannst im Zähler und Nenner

$\begin{eqnarray*} t^{2} +1 \end{eqnarray*}$

kürzen

15.05.2013, 09:39

voodoo

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Achsooo...
Dann wird das aber zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4-t^2} \end{eqnarray*}$

Oder?

15.05.2013, 09:51

grosserloewe

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Wink

leider nein

Bitte nochmal rechen

15.05.2013, 09:58

voodoo

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Zitat:

Original von grosserloewe
$\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} +1}{3(t^{2}+1) +1 -t^{2} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{2}{t^{2}+1} dt \end{eqnarray*}$

Das ist doch jetzt der weg den wir nehmen oder?
Wie kann man denn da t^2+1 rauskürzen??
Aus beiden Brüchen? Dann muss ich die doch eh erst auf einen Nenner bringen...

15.05.2013, 10:08

grosserloewe

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Wink

rechne doch bitte mal den Nenner richtig

15.05.2013, 10:22

voodoo

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Zitat:

Original von grosserloewe
$\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} +1}{3(t^{2}+1) +1 -t^{2} } \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{2}{t^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Also soweit waren wir doch schon...
Das ist doch nur den cos ersetzt und den doppelbruch aufgelöst.
Wenn ich doch jetzt die Brüche zusammen ziehen will, dann muss ich doch erstmal erweitern oder nicht?
Oder meinst du das so:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} +1}{3t^{2}+3+1 -t^{2} } = \frac{t^{2} +1}{2t^{2}+4 } \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 10:34

grosserloewe

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Wink

also was ich meine:

$\begin{eqnarray*} \frac{t^{2} +1 }{3(t^{2}+1)+1 -t^{2} } * \frac{2 }{t^{2} +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^{2} +1 \end{eqnarray*}$

kann man kürzen ,daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3(t^{2}+1) +1 -t^{2} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{2 t^{2 }+4 } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t^{2 } +2} \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 10:46

voodoo

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Muss ich nicht zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen nenner bringen, damit ich sie kürzen kann???
Und wie mach ich jetzt weiter???
$\begin{eqnarray*} z = \frac {t}{\sqrt {2}} \end{eqnarray*}$
Das soll gehen?
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{ t^2 + 2} = (t^2+2)^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann ist das doch einfach $\begin{eqnarray*} z^{-1} \end{eqnarray*}$ oder?

15.05.2013, 11:09

grosserloewe

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Wink

Muss ich nicht zuerst die Brüche auf einen gemeinsamen nenner bringen, damit ich sie kürzen kann???

Warum? Es wird zuerst gekürzt , wozu brauchst Du dann noch einen Hauptnenner?

Im nächsten Schritt klammere bitte den Faktor 2 im Nenner aus.

15.05.2013, 11:26

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \frac {a}{b} * \frac {c}{a} = \frac {c }{b} \end{eqnarray*}$ ???

Ok 2 rausziehen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} *\frac {1}{t^2} \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 11:27

grosserloewe

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Wink

ja

15.05.2013, 12:00

grosserloewe

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Wink

Ich meine von diesem Ausdruck die 2 im Nenner ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{t^{2}+2 } \, dt \end{eqnarray*}$

und vor das Integral als konstanter Faktor schreiben.

15.05.2013, 15:17

voodoo

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ok lass mich mal kurz zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{3+cos x} \, dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} t = tan \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} cos(x) = \frac{1-t^2}{t^2+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dx= \frac{2 dt}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

dann setzten wir das ins integral ein:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{3+ \frac{1-t^2}{t^2+1}} \, \frac{2}{1+t^2} dt \end{eqnarray*}$

den doppelbruch weglösen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1+t^2}{2t^2+4} \, \frac{2}{1+t^2} dt \end{eqnarray*}$

t^2 + 1 kürzen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{2}{2t^2+4} \, dt = \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{t^2+2} \, dt \end{eqnarray*}$

soooo...
jetzt die 2 rausziehen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{t^2+2} \, dt = \frac{1}{2}\int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{\frac{t^2}{2}} \, dt = \frac{1}{2}\int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{2}{t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 15:27

grosserloewe

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Wink

ja soweit ok,

aber der Nenner stimmt nicht

$\begin{eqnarray*} t^2 +2= 2 *( t^2/2 +1) \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 15:38

voodoo

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Hammer

ja na klar... stimmt
$\begin{eqnarray*} t^2 +2= 2 *( t^2/2 +1) \end{eqnarray*}$

dann ist unser integral

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{t^2+2} \, dx = \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{2(\frac{t^2}{2}+1)} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{\frac{t^2 + 2}{2}} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{2}{t^2 + 2} \, dx \end{eqnarray*}$

kann ich dann nicht weitermachen mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{2}{t^2 + 2} \, dx = \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{t^2 + 2} \, dx \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 16:08

grosserloewe

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Wink

nein bitte nicht, das hat einen speziellen Hintergrund, den Du am Ende der Lösung sehen wirst ,

mache bitte mit "unserer" Lösung und der Substtution ( siehe oben) weiter.

15.05.2013, 16:18

voodoo

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Zitat:

Original von grosserloewe
nein bitte nicht, das hat einen speziellen Hintergrund, den Du am Ende der Lösung sehen wirst ,

ok...

mit $\begin{eqnarray*} z = \frac{t^2}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{2}{t^2 + 2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{z^{-1}}{2} \, dx \end{eqnarray*}$

das kann aber nicht sein... was isn das mit der wurzel 2???

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{z^{-1}+2-\sqrt2}{2} \, dx \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 16:30

grosserloewe

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Wink

Nicht

$\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$

nur t

15.05.2013, 16:36

voodoo

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oh achso...
ja dann macht das auch sinn Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} z^2 = \frac{t^2}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} dt = dz \sqrt2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{2}{t^2 + 2} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{z^{-2}}{2}\sqrt2 \, dz \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 17:59

grosserloewe

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Wink

Schauh mal:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{t^{2} +2} \, dt \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \! \frac{1}{\frac{t^{2} }{2}+1 } \, dt \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} z= \frac{t}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dt} =\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Setze das mal bitte ein, was entsteht?

15.05.2013, 20:44

voodoo

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ok ich hatte den doppelbruch aufgelöst...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{\frac{t^2}{2}+1} \, dt = \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{ \sqrt2}{z^2+1}\, dz \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dt} = \frac{1}{\sqrt2} \Leftrightarrow dt = \sqrt2 \, dz \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 20:53

grosserloewe

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Wink

Freude

den Wurzelausdruck bitte noch vor das Integral ergibt?

15.05.2013, 20:58

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{ \sqrt2}{z^2+1}\, dz = \frac{ \sqrt2}{2} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{z^2+1}\, dz \end{eqnarray*}$
okay...
aber wie mach ich das denn jetzt mit den intervallgrenzen :/

15.05.2013, 21:00

grosserloewe

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Wink

Empfehlung:
ich mache das immer erst zum Schluß

Kommt Dir das Integral bekannt vor?

15.05.2013, 21:05

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{z^2+1}\, dz = tan^{-1}z + C \end{eqnarray*}$ oder?

15.05.2013, 21:06

grosserloewe

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Wink

yes , aber vergiss das z nicht und Du bist noch nicht fertig.

Weisst Du warum?

15.05.2013, 21:08

voodoo

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ich würde sagen, weil wir das doch noch alles rückgängig machen müssen mit den ganzen substitutionen oder nicht?

15.05.2013, 21:10

grosserloewe

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Wink

klasse

Freude

ja wir haben 2 Substitutionen gehabt.

Wie lautet nun das Endergebnis (erstmal ohne die Grenzen ausgerechnet)?

15.05.2013, 21:16

voodoo

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$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{2 \pi}{3} \! \frac{1}{z^2+1}\, dz = arctan \, z + C = arctan \, \left(\frac{t}{\sqrt2}\right) + C = arctan \, \left( \frac{tan \frac{x}{2}}{\sqrt2} \right) + C \end{eqnarray*}$

und dann noch den faktor vor dem integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt2}{2} arctan \, \left( \frac{tan \frac{x}{2}}{\sqrt2} \right) + C \end{eqnarray*}$

15.05.2013, 21:18

grosserloewe

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Wink

Tanzen

jawohl

smile

Soll ich Dir meinen Zahlenwert sagen, oder willst Du?

15.05.2013, 21:20

voodoo

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in x muss ich doch 0 einsetzten und 2pi/3 oder nicht?
aber ich versteh immer noch nicht was denn jetzt was mit der substitution der intervallgrenzen war :/

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