Wald Identität Beweis

15.05.2013, 00:26

gili

Wald Identität Beweis

Hallo.
Ich hab da ein Problem mit einer Aufgabe, ich komme einfach nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} E|\sum\limits_{i=1}^N X_{i}-NEX_{1}|² =ENVX_{1} \end{eqnarray*}$

E = Erwartungswert, V=Varianz
Ich soll das beweisen. Keine Ahnung wie das gehen soll :-(

15.05.2013, 11:39

HAL 9000

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Der Form halber sollte man schon noch die Voraussetzungen nennen, unter denen diese Gleichung gilt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (X_i)_{i=1,2,\ldots} \end{eqnarray*}$ ist eine Folge unabhängig, identisch verteilter Zufallsgrößen

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist eine von der Folge $\begin{eqnarray*} (X_i) \end{eqnarray*}$ unabhängige Anzahlzufallsgröße (d.h. mit Werten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ )

Definieren wir $\begin{eqnarray*} Z_i:=X_i-E(X_i) \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} E(Z_i)=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} V(Z_i)=E(Z_i^2) \end{eqnarray*}$ , es genügt dann
der Nachweis von

$\begin{eqnarray*} E\left( \left( \sum_{i=1}^N Z_i \right)^2 \right) = E(N)\cdot E(Z_1^2) \end{eqnarray*}$

Und das geht z.B. über die totale Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} E\left( \left( \sum_{i=1}^N Z_i \right)^2 \right) = \sum_{n=0}^{\infty} E\left( \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \Bigm| N=n \right)\cdot P(N=n) = \ldots \end{eqnarray*}$

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