Restglied beim Taylorschen Satz

24.02.2007, 12:54

Taylor

Restglied beim Taylorschen Satz

Hallo,

ich habe ein Problem, nachzuvollziehen, wie man auf den Ansatz zur Darstellung des Restgliedes beim Taylerschen Satz (1. und 2. Form) kommt.

Man hat $\begin{eqnarray*} R_p = f - T_p \end{eqnarray*}$ - das ist klar. Und nach Vor. gilt auch $\begin{eqnarray*} \forall_{k=0}^p R_p^{(k)} (x_0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nutzt man den erweiterten Mittelwertsatz und leitet mit dem folgenden Ansatz das Restglied her:

$\begin{eqnarray*} \frac{R_p(x) - 0}{(x-x_0)^{p+1} - 0} = ... \end{eqnarray*}$

(p-malige Anwendung des erw. MWS) Alles weitere ist mir klar - aber woher kommt dieser Ansatz? Ist wahrscheinlich ganz naheliegend - aber ich sehe es im Moment nicht unglücklich

27.02.2007, 09:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann doch diesen Term erstmal betrachten, ist doch egal, wo der herkommt! Und dann sehen, was sich draus entwickelt... Augenzwinkern

Oder meinst du: Wie man drauf kommt, das so anzusetzen? Das wäre dann eine völlig andere Frage. smile

01.03.2007, 10:45

Taylor

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Oder meinst du: Wie man drauf kommt, das so anzusetzen? Das wäre dann eine völlig andere Frage. smile

Ja, das meinte ich. Ich kann in der Prüfung ja schlecht sagen, daß man das einfach so probiert hat.

01.03.2007, 10:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich anders: Sehr oft findet man den Weg erst durch Probieren verschiedener Varianten. Das sollte aber nicht verwechselt werden mit dem dann immer noch nötigen exakten Begründen des dann gefundenen Weges!

16.03.2007, 16:06

grip

Auf diesen Beitrag antworten »

Tag,
ich habe auch eine Frage zum Restglied beim Taylorschen Satz, und da wir das genauso hergeleitet haben mißbrauche ich mal diesen Thread für mein Problem:

Wir haben also genau wie im ersten Beitrag angesetzt, p-mal den erweiterten MWS angewandt und kamen auf:

$\begin{eqnarray*} x \mapsto \Delta_{p+1}(x) := (p+1)! \frac{R_p (x)}{(x-x_0)^{p+1}} = \frac{R_p^{(p)}(\overline{x}_p)}{\overline{x}_p - x_0} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir noch gezeigt, daß dieses $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig fortgesetzt werden kann (durch $\begin{eqnarray*} f^{(p+1)}(x_0) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p+1 \end{eqnarray*}$ -mal diffbar).

Und dann kommt schon der Taylorsche Satz:

$\begin{eqnarray*} f(x) = T_p(x) + \frac{1}{(p+1)!} \Delta_{p+1}(x) (x - x_0)^{p+1} \end{eqnarray*}$

Die einzelnen Schritte sind mir klar, aber das Gesamtpaket verstehe ich irgendwie nicht.
Kann ich mir das so vorstellen, daß jemandem dieser Ansatz einfach so eingefallen ist, er den MWS benutzt hat um zu zeigen, daß sein Ansatz in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig fortsetzbar ist ... und das war es ... ? Das $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ im Taylorschen Satz ist ja damit eindeutig festgelegt. Aber könnte man das Restglied mit einem anderen Ansatz nicht auch ganz anders ausdrücken?
Versuche ich, da zuviel hineinzuinterpretieren oder verstehe ich es einfach nicht?

Neue Frage »

Antworten »

Restglied beim Taylorschen Satz

Verwandte Themen