Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung

Neue Frage »

steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Meine Frage:
Hallo Leute, ich brauche etwas Hilfe, bei der folgenden Aufgabe:

Sei eine nach Bogenlänge parametrisierte, einfach geschlossene Kurve, so dass für ein gilt:

.

Zeigen Sie: Es gilt:

Und Gleichheit genau dann wenn c ein Kreis vom Radius ist. Gilt die Aussage auch, wenn c nur geschlossen und nicht einfach geschlossen ist?

Meine Ideen:
Also zunächst habe ich die versucht die Gleichheit zu zeigen, falls ein Kreis ist.
Sei also ein n. Bl. par. Kreis mit Radius . Dann gilt für . Die Länge der Kurve entspricht dann dem Umkreis des Kreises: Also . Dann folgt sofort:

und fertig.

So nun der eigentlich schwierige Teil, bei dem ich noch Probleme habe!

Anschaulich bedeutet es ja, dass wenn ich eine Kurve habe, deren Krümmung für jedes kleiner als die Krümmung eines Kreises mit Radius ist, Dann ist Ihre Länge immer größer als die des Kreises. Dann passt der Kreis also immer in die Kurve hinein oder? Im Grunde kann ich doch den Schmiegekreis im Punkte mit der kleinsten Krümmung bestimmen und der passt dann in der Kurve hinein.

Ich weiß nun nicht genau, wie ich das beweisen soll, welche Formeln ich verwenden soll.

Die Länge der Kurve bestimme ich ja durch: denn da die Kurve einfach geschlossen ist existiert eine periodische Parametriesierung. Da nach Bl. par. ist kommt da genau
raus.
Also habe ich:

aber jetzt bin ich nicht wesentlich viel weiter..

Kann mir bitte jemand helfen?

Danke!!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Benutze eine gewisse Formel für die totale Krümmung.
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Hey vielen Dank für deinen Tipp. Leider sind die Worte: Totale Krümmung in der Vorlesung noch kein Mal gefallen. Gibts da noch einen anderen Weg?

Im Grunde ist ja zu zeigen, dass die Länge des Schmiegkreises kleiner ist als die der Kurve oder?

Ich habs jetzt fertig, vielleicht poste ich es später man..

Entscheidet war die Info, dass Tangentendrehzahl nur +- 1 sein kann smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Totale Krümmung bezeichnet einfach das Integral der Krümmung über , also
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Okay, ja das wurde in der Vorlesung nicht erwähnt..

Aber das Integral kommt mir bekannt vor, es gilt ja:



für einfach geschlossene Kurve ist ja die Tangentendrehzahl: damit hat man es dann auch.

Aber du wolltest wahrscheinlich darauf hinaus smile

Danke Wink
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Genau die Formel meinte ich.
Da dann einfach Beträge setzen, die Dreiecksungleichung anwenden und dann noch die Voraussetzung benutzen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Ich hab jetzt anstelle von Betrag setzten eine Fall Unterscheidung gemacht, wäre das auch möglich?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Schwer zu sagen.
Wie sieht denn deine Lösung aus?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Der Beweis sieht in etwa so aus:

da nach Bl. param. ist gilt ja: .

Die Vorraussetzung lautet: umstellen liefert:

jetzt verwendet man das nach Bl par. ist.

Integrieren beider Seiten von 0 bis L = Periode liefert mit Fallunterscheidung:

Fall 1:



ist nun erhält man: und für: erhält man:

Insgesamt also:

Fall 2: erhält man das gleiche..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Was ist, wenn einen Vorzeichenwechsel hat?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
wie meinst du das??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Deine Fallunterscheidung und kann nur punktweise vorgenommen werden.
Es ist aber auch möglich, dass du (bei ) hast. Dann funktioniert deine Argumentation nicht.

Übrigens folgt aus noch lange nicht, dass .
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Mist verwirrt da bin ich wohl etwas unaufmerksam vorgegangen:

Also dann versuche ich mal deinen Vorschlag!



dann Betrag:



nun die Vorraussetzung verwenden:

es ist





passt das soweit?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Ja, genau so dachte ich mir das.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung
Alles klar! Danke, ist ja auch wesentlich leichter Hammer
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »