Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung

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15.05.2013, 10:05	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Meine Frage: Hallo Leute, ich brauche etwas Hilfe, bei der folgenden Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} c: \mathbb R \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ eine nach Bogenlänge parametrisierte, einfach geschlossene Kurve, so dass für ein $\begin{eqnarray} R > 0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|\kappa(t)\| \leq \frac{1}{R} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Es gilt: $\begin{eqnarray} L(c) \geq 2\pi R \end{eqnarray}$ Und Gleichheit genau dann wenn c ein Kreis vom Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist. Gilt die Aussage auch, wenn c nur geschlossen und nicht einfach geschlossen ist? Meine Ideen: Also zunächst habe ich die versucht die Gleichheit zu zeigen, falls $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ein Kreis ist. Sei $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ also ein n. Bl. par. Kreis mit Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray} \kappa(c) = 1/R \end{eqnarray}$ . Die Länge der Kurve entspricht dann dem Umkreis des Kreises: Also $\begin{eqnarray} 2 \pi R \end{eqnarray}$ . Dann folgt sofort: $\begin{eqnarray} L(c) = 2 \pi R \end{eqnarray}$ und fertig. So nun der eigentlich schwierige Teil, bei dem ich noch Probleme habe! Anschaulich bedeutet es ja, dass wenn ich eine Kurve habe, deren Krümmung für jedes $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ kleiner als die Krümmung eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist, Dann ist Ihre Länge immer größer als die des Kreises. Dann passt der Kreis also immer in die Kurve hinein oder? Im Grunde kann ich doch den Schmiegekreis im Punkte mit der kleinsten Krümmung bestimmen und der passt dann in der Kurve $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ hinein. Ich weiß nun nicht genau, wie ich das beweisen soll, welche Formeln ich verwenden soll. Die Länge der Kurve bestimme ich ja durch: $\begin{eqnarray} \int_0^L \! \|\|c'(t)\|\| \, dt \end{eqnarray}$ denn da die Kurve einfach geschlossen ist existiert eine periodische Parametriesierung. Da nach Bl. par. ist kommt da genau $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ raus. Also habe ich: $\begin{eqnarray} L \geq 2 \pi R \end{eqnarray}$ aber jetzt bin ich nicht wesentlich viel weiter.. Kann mir bitte jemand helfen? Danke!!
15.05.2013, 19:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Benutze eine gewisse Formel für die totale Krümmung.
16.05.2013, 14:05	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Hey vielen Dank für deinen Tipp. Leider sind die Worte: Totale Krümmung in der Vorlesung noch kein Mal gefallen. Gibts da noch einen anderen Weg? Im Grunde ist ja zu zeigen, dass die Länge des Schmiegkreises kleiner ist als die der Kurve oder? Ich habs jetzt fertig, vielleicht poste ich es später man.. Entscheidet war die Info, dass Tangentendrehzahl nur +- 1 sein kann
16.05.2013, 19:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Totale Krümmung bezeichnet einfach das Integral der Krümmung über $\begin{eqnarray} [0,L] \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \int_0^L\kappa\dd s\,. \end{eqnarray}$
16.05.2013, 21:06	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Okay, ja das wurde in der Vorlesung nicht erwähnt.. Aber das Integral kommt mir bekannt vor, es gilt ja: $\begin{eqnarray} 2\pi n_c = \int_0^L \! \kappa(t) \, dt \end{eqnarray}$ für einfach geschlossene Kurve ist ja die Tangentendrehzahl: $\begin{eqnarray} n_c = \pm 1 \end{eqnarray}$ damit hat man es dann auch. Aber du wolltest wahrscheinlich darauf hinaus Danke
16.05.2013, 21:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Genau die Formel meinte ich. Da dann einfach Beträge setzen, die Dreiecksungleichung anwenden und dann noch die Voraussetzung benutzen.
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17.05.2013, 08:18	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Ich hab jetzt anstelle von Betrag setzten eine Fall Unterscheidung gemacht, wäre das auch möglich?
17.05.2013, 08:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Schwer zu sagen. Wie sieht denn deine Lösung aus?
17.05.2013, 13:52	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Der Beweis sieht in etwa so aus: da $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ nach Bl. param. ist gilt ja: $\begin{eqnarray} \|\|c'(t)\|\| = 1 \end{eqnarray}$ . Die Vorraussetzung lautet: $\begin{eqnarray} \|\kappa(t)\| \leq \frac{1}{R} \end{eqnarray}$ umstellen liefert: $\begin{eqnarray} \|\kappa(t)\| R \leq 1 \end{eqnarray}$ jetzt verwendet man das $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ nach Bl par. ist. $\begin{eqnarray} \|\kappa(t)\| R \leq\|\|c'(t)\|\| \end{eqnarray}$ Integrieren beider Seiten von 0 bis L = Periode liefert mit Fallunterscheidung: Fall 1: $\begin{eqnarray} \kappa(t) > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^L \! \kappa(t)R \, dt \leq L(c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \pi n_c R \leq L(c) \end{eqnarray}$ ist nun $\begin{eqnarray} n_c = 1 \end{eqnarray}$ erhält man: $\begin{eqnarray} 2\pi R \leq L(c) \end{eqnarray}$ und für: $\begin{eqnarray} n_c = -1 \end{eqnarray}$ erhält man: $\begin{eqnarray} -2\pi R \leq L(c) \end{eqnarray}$ Insgesamt also: $\begin{eqnarray} -2\pi R \leq +2\pi R \leq L(c) \end{eqnarray}$ Fall 2: $\begin{eqnarray} \kappa(t) < 0 \end{eqnarray}$ erhält man das gleiche..
17.05.2013, 13:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Was ist, wenn $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ einen Vorzeichenwechsel hat?
17.05.2013, 14:23	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung wie meinst du das??
17.05.2013, 14:27	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Deine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray} \kappa\geq0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \kappa<0 \end{eqnarray}$ kann nur punktweise vorgenommen werden. Es ist aber auch möglich, dass du $\begin{eqnarray} \kappa(t)=\sin t \end{eqnarray}$ (bei $\begin{eqnarray} L>\pi \end{eqnarray}$ ) hast. Dann funktioniert deine Argumentation nicht. Übrigens folgt aus $\begin{eqnarray} -2\pi R \leq L(c) \end{eqnarray}$ noch lange nicht, dass $\begin{eqnarray} 2\pi R\leq L(c) \end{eqnarray}$ .
17.05.2013, 14:39	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Mist da bin ich wohl etwas unaufmerksam vorgegangen: Also dann versuche ich mal deinen Vorschlag! $\begin{eqnarray} 2\pi n_c = \int_0^L \! \kappa(t) \, dt \end{eqnarray}$ dann Betrag: $\begin{eqnarray} \|2\pi n_c\| = \|\int_0^L \! \kappa(t) \, dt\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \pi \leq \int_0^L \! \|\kappa(t)\| \, dt \end{eqnarray}$ nun die Vorraussetzung verwenden: $\begin{eqnarray} 2 \pi \leq \int_0^L \! \|\frac{1}{R}\| \, dt \end{eqnarray}$ es ist $\begin{eqnarray} R > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \pi R \leq \int_0^L \! 1 \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 \pi R \leq L \end{eqnarray}$ passt das soweit?
17.05.2013, 14:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Ja, genau so dachte ich mir das.
17.05.2013, 14:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Krümmung und Länge einer Kurve Ungleichung Alles klar! Danke, ist ja auch wesentlich leichter

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