Vektorfeld & Bahnkurven

15.05.2013, 11:36	waldemar12	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld & Bahnkurven Meine Frage: 1. Man plotte das Vektorfeld des linearen Differentialgleichungssystems $\begin{eqnarray} \dot{x}=Ax \end{eqnarray}$ für die Matrix $\begin{eqnarray} A\in\mathbb{R}^{2\times 2}, A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\-2 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . 2. Lösen Sie auch die Differentialgleichung numerisch zu verschiedenen Anfangswerten und zeichnen Sie die Bahnkurven ein. Meine Ideen: Hallo! Bei 1. ist doch nichts Anderes als das Richtungsfeld verlangt? Das heißt doch: Man nimmt sich einen Punkt $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ der Ebene her und trägt dann von diesem Punkt aus erst den Wert $\begin{eqnarray} -x+2y \end{eqnarray}$ in x-Richtung und dann den Wert $\begin{eqnarray} -2x+y \end{eqnarray}$ in y-Richtung ab (quasi als Steigungsdreieck) und zeichnet dann ein Linienelement ein? Das habe ich versucht mit Matlab umzusetzen: [attach]30089[/attach] Könnte mir jemand von Ihnen sagen, ob das so korrekt ist? Die Aufgabe 2 verstehe ich nicht so richtig: Was ist mit Bahnkurve gemeint? Herzliche Grüße waldemar12
15.05.2013, 14:09	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man duzt sich hier ganz kollegial, wenn es dir nichts ausmacht . Die Pfeile/Vektoren liegen immer tangential zu einer Bahnkurve. Hast du also einen Anfangspunkt, dann zeichne in Pfeilrichtung den Beginn der Kurve und versuche immer, die Kurve im Verlauf so zu zeichnen, dass die berührten Pfeile tangential liegen. Die Pfeillänge bzw. Norm des Vektors hat keine Bedeutung für die Lage der Bahn.
15.05.2013, 16:03	waldemar12	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das Du ist mir sowieso lieber. Wenn ich nun eine Bahnkurve zu einem gegebenen Anfangswert einzeichnen möchte [z.B. mit Matlab], muss ich dann x gegen y plotten? Oder muss ich t gegen x und t gegen y plotten? Was entspricht eher dem, was man unter "Bahnkurve" versteht?
15.05.2013, 16:34	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Da bin ich überfragt, da ich nicht mit matlab arbeite. Außerdem nahm ich an, du sollst das von Hand zeichnen. Für mich ist die Bahnkurve der Graph der Funktion bei einer bestimmten Anfangsbedingung, unabhängig von einer bestimmten Parametrisierung.
15.05.2013, 16:59	waldemar12	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich habe ein bisschen herumprobiert, herausgekommen ist dieses Vektor- bzw. Richtungsfeld (links: etwas hereingezoomt) [attach]30095[/attach] [attach]30096[/attach] und für verschiedene Anfangswerte (rot: Anfangswert (3,0); grün: Anfangswert (0,4); blau: Anfangswert (10,-15)) diese Bahnkurven [attach]30097[/attach]. Entspricht das dem, was Du unter "Bahnkurve" meintest? Sind Bahnkurven immer Ellipsen oder ist das hier nur zufällig gerade so?

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