Hauptachsentransformation

15.05.2013, 09:37	knobelkobold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Meine Frage: Hallo, ich hab folgendes Problem. $\begin{eqnarray} <br /> f(x,y)=ax^2-2 \sqrt(2)xy, a Element aus R \end{eqnarray}$ Diese Gleichung soll ich in Matrixform schreiben und die Gleichung f(x,y)=1 lösen, in dem ich die Matrix durch eine Transformation in Diagonalform bringe, die Transformation soll dabei eine Drehung sein. Meine Ideen: Als Matrixform habe ich $\begin{eqnarray} <br /> f(x,y)=\left(x,y\right) \begin{pmatrix} a & 0 \\ -2\sqrt{2}a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ So. Um das mit einer Transformation in Diagonalform zu bringen, dachte ich, bau ich die Matrix aus den normierten Eigenvektoren der Matrix zusammen. Jetzt bilde ich erstmal das charakteristische Polynom zur Bestimmung der Eigenwerte. Da bekomme ich $\begin{eqnarray} <br /> \lambda 1=0, \lambda 2=-a \end{eqnarray}$ Jetzt die Eigenvektoren der Eigenwerte bestimmen, für \lamda2=-a bekomme ich dort etwas sinnvolles raus, aber für \lamda1=0 bekomme ich das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} <br /> ax=0 <=> x=0<br /> -2 \sqrt{2}ay=0 <=> y=0 \end{eqnarray}$ und daraus den Nullvektor. Die Matrix macht aus meinem \A entsprechend immer die Nullmatrix - was läuft falsch ? ps sorry keine Ahnung, was mit der Formatierung schief läuft ... Statt \latex muss es /latex heißen. Hab's korrigiert. Steffen
17.05.2013, 06:14	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation Für den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ bekommst du die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}a & 0\\-2 \sqrt{2}a & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Kern dieser Abbildung besteht nicht nur aus dem Nullvektor, Addition des $\begin{eqnarray} 2\sqrt{2} \end{eqnarray}$ -fachen der ersten Zeile zur zweiten führt zu was?

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