Zufallsvariable

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Zufallsvariable
Hallo,

a.
Wie unterscheidet sich die Zufallsvariable in den verschiedenen Wahrscheinlichkeitsmodellen - Baum, Binär(Binomial), Normalverteilung?
b.
Ist dieser immer 1?

lg
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Eine Zufallsvariable ist nicht fest einer Verteilung zugeordnet. Im Allgemeinen ist sie in erster Linie ein Abbildung. Beispiel für ein Spielwürfel, hier Bilde ich mittels der Zufallsvariable alle möglichen Seiten des Würfels auf die jeweilige Augenzahl ab.

Dabei fällt jetzt wohl schon auf, dass es bisher noch nichts mit irgendeiner Wahrscheinlichkeit zu hatte. Denn wie die Zufallsvariable verteilt ist, kannst ihr so nicht ansehen.

Denn du weißt nun ja nicht ob der Würfel Fair (gleichverteilt) oder möglicherweise ist er Manipuliert und dadurch würde sich die Wahrscheinlichkeit auch ändern.

Deshalb gibt man zu einer Zufallsvariable an wie sie verteilt ist, somit brauchst du keine Unterscheidung bzgl. den Modellen zu suchen.

Ich weiß nicht was du mit "ist dieser immer 1" meinst? Aber vielleicht ist die Frage schon damit beantwortet, dass eine Zufallsvariable eine beliebige Messbare Funktion ist.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es möglich an einem Beispiel anzugeben was nur die Zufallsvariable in dem Versuch ist.

Ein ganz Banales Beispiel:

Münzwurf mit 20 Versuchen.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall kannst du dir einen Zufallsvektor basteln



Damit hättest du schon deine Zufallsvariable erstellt für den n-maligen Münzwurf.

Jetzt könntest du entsprechend deinen Modellen überlegen wie du sie verteilen möchtest.

Sollen alle die gleiche Verteilung besitzen?

Aus diesen einzel Verteilungen kannst du dir dann die Verteilung für den gesamten Münzwurf bauen.

EDIT: ist natürlich nicht eindeutig, du hättest auch



als Zufallsvariable wählen können.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »



Damit hättest du schon deine Zufallsvariable erstellt für den n-maligen Münzwurf.

Dieser beträgt 0,1. verwirrt

Ich verstehe nun aber um was es sich handelt, die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Versuch. (Dass diese zutrifft).

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ist demnach die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Die einzel Wahrscheinlichkeiten sind die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und müssen in Summe 1 ergeben. Jedoch können andere Zufallsvariablen auf der gleichen Ereignisse Menge mit den gleichen wahrscheinlichkeiten der grundereignisse eine andere Verteilung besitzen.

Beispiel:

Wir werfen immer zwei würfel und bekommen immer Tupel . Jedes dieser Tupel hat die gleiche wahrscheinlichkeit und sind somit gleichverteilt. bzgl. der Zufallsvariable .

Nun betrachte ich eine andere Zufallsvariable , diese ist nicht mehr Gleichverteilt. Denn und . Ich habe somit den Ereignisraum geändert.

Sorry dann war es oben nicht richtig das ich gesagt habe man ordnet einer zufallsvariable die verteilung zu. Denn du ordnest nur den grundlegenden ereignissen die wahrscheinlichkeiten zu und so erhält die zufallsvariablen ihre Verteilung. Wenn du eben die zufallsvariable die den ereignisraum auf sich selbst abbildet hier kannst du die verteilung wählen um den einzel ereignissen eine wahrscheinlichkeit zu zu ordnen
 
 
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Jetzt müsste sich nur noch die Wahrscheinlichkeitsverteilung ins Bild einordnen.

Ich habe es nun mit der Zufallsvariable.
Eine Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten.

Demnach erhalte ich durch zusammenzählen aller Zufallsvariablen die Zahl 1 welche meiner Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht.

oder der Prozess der Zuordnung von Zufallsvariablen wird Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.

Ps.
Ich lese mich dazu nochmals ein und melde mich etwas später. Freude
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich habe es nun mit der Zufallsvariable.
Eine Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten.


Sorry, vielleicht war meine Erklärung verwirrend. Du ordnest nicht einer Zufallsvariable Wahrscheinlichkeit zu, sondern den Ereignissen des Ereignisraums.

Du hast eine Menge , welche aus einer Menge von Ereignissen besteht.

Beispiele:

Würfel: mögliche Ereignismenge (natürlich könntest du hier auch andere Symbole nehmen, welche die Seiten darstellen)

Spielkarten: (in diesem Fall geht es nur darum welche Farbe bzw. Symbol erscheint)

So das sind Ereignismengen, diese Dinge beobachtest du. Jetzt ordnest du jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu

Wahrscheinlichkeit

Du ordnest jedem möglichen Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu. Hier gilt die Bedingung

, die Summe über alle Einzelwahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben.

Zufallsvariable

vereinfacht, . Eine Abbildung, welche uns unsere definierte Ereignismenge auf eine andere Abbildet.

Nehmen wir die Zufallsvariable, . Die Abbildung die jedes Ereignis auf sich selbst abbildet. Jedoch muss hier nicht gelten

, denn wie du oben gesehen hast, sind es unter Umständen nicht mal zahlen.

Verteilung

Diese betrachten wir nun bzgl. verschiedener Zufallsvariablen, im vorherigen post hatte ich schon das Beispiel gezeigt, dass zwei verschiedene Zufallsvariablen auf der gleichen Ereignismenge verschiedene Verteilungen haben können.

Zitat:
Demnach erhalte ich durch zusammenzählen aller Zufallsvariablen die Zahl 1 welche meiner Wahrscheinlichkeitsverteilung entspricht.


Verstehe nicht was du damit meinst, wenn du alle Zufallsvariablen zusammenzählst. Wie möchtest du sie Zusammenzählen?

Nur die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse muss 1 ergeben.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du ordnest jedem möglichen Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zu.


Alle zusammen müssen 1 ergeben. = Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Zufallsvariable

Hier wird es schwer.
Ich weiß z.B auch nicht ganz was du mit Abbild meinst oder Ereignisraum.

Es ist eine Zuordnung zu Ereignisse. - Soweit habe ich es.

Freude
Danke für den sehr präzisen Beitrag.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Abbildung auch als Zuordnung sehen.

Beispiel

Abbildung: Hier werden die Elemente 1,2,3,4 auf die beiden Elemente 0 und 1 abgebildet. Ich definiere nun


Nun der Bezug zur Wahrscheinlichkeit, angenommen wir sagen jede Zahl 1,..4 hat die Wahrscheinlichkeit . Jetzt haben wir die Zufallsvariable X und haben bzgl. dieser nicht mehr die Ereignisse 1,..,4 sondern nur noch 0 oder 1.

Möchte ich jetzt wissen was die Wahrscheinlichkeit für 0 ist, betrachte ich alle Element die durch X auf die 0 bgebildet/zugeordnet werden. In diesem Fall die 1 und 2. Für diese Weiß ich ja die Wahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit über eine Menge von Ereignissen ist gerade die Summe der einzel Wahrscheinlichkeiten somit hier .

Das ist dann die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 0. Die eins hat die gleiche Wahrscheinlichkeit und somit ist die Zufallsvariable gleichverteilt.

Jetzt kannst du dir überlegen, dass wir die Zuordnung auch ändern können:



Nur noch die 4 wird auf die 1 abgebildet. Wenn diese wie oben nachrechnest hat nun die 0 nun die Wahrscheinlichkeit 3/4 und die 1 die Wahrscheinlichkeit 1/4.

So siehst du auch, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzgl. einer Zufallsvariable ändern kann.

Noch ein Beispiel mit etwas mehr Anwendung: du Würfelst, bei einer 6 gewinnst du 1 € bei einer 5 zahlst 1 €, sonst 0 € (weder verlieren noch gewinnen).

Die Wahrscheinlichkeit für den Würfel kennst du, jetzt möchtest du aber wissen wie wahrscheinlich es ist 1 € zu gewinnen. Das kannst du jetzt eben durch eine Zufallsvariable modellieren und bekommst so die Verteilung für das Spiel.

Hoffe das war ein gutes Beispiel um den Sinn einer Zufallsvariable zu beschreiben.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für die ausführlichen Beiträge.

Habe es nun endlich. Freude
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