Konvergenz Folge

15.05.2013, 15:05

MatheNoobii

Konvergenz Folge

Mal wieder eine Folge, bei der ich keinen Anfang finde :/

$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n} (\sqrt[n]{n} -1) \end{eqnarray*}$

In der Vorlesung hatten wir: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

Bedeutet das nicht, dass die Klammer gegen 0 konvergiert und somit auch der gesamte Term?

15.05.2013, 16:11

lgrizu

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RE: Konvergenz Folge
So einfach ist es nicht, und der Grenzwert ist acuh nicht 0.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}= \infty \end{eqnarray*}$ .

Du hast also einen Ausdruck "Null mal unendlich".

Etwas mehr ist hier schon gefragt.

16.05.2013, 13:53

MatheNoobii

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RE: Konvergenz Folge
$\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n} (\sqrt[n]{n} -1)= n^{\frac{1}{2n}} - n^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2n]{n} - \sqrt{n}= \sqrt(\sqrt[n]{n}) - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt(\sqrt[n]{n}) - \sqrt{n} = 1 - \infty \end{eqnarray*}$

Stimmt wenigstens irgendwo der Ansatz, weil das kann ja nicht richtig sein?

16.05.2013, 15:26

lgrizu

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RE: Konvergenz Folge
Entschuldige, ich habe mich vertan, der Grenzwert ist doch 0.
Dennoch reicht deine Begründung aus dem ersten Post dazu nicht aus.

In deinem letzten Post hast du die Potenzgesetze völlig missachtet.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \cdot \left( \sqrt[n]{n}-1 \right)=n^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{n}}- n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ .

Potenzen werden addiert, wenn die gleiche Basis mit verschiedenen Potenzen multipliziert wird.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[2n]{n}=\sqrt{ \sqrt[n]{n}} \neq \sqrt{n} \cdot \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ .

16.05.2013, 15:37

MatheNoobii

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RE: Konvergenz Folge
Danke für deine Antwort!

Ah hatte es falsch in Erinnerung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \cdot \left( \sqrt[n]{n}-1 \right)=n^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{n}}- n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{n} \cdot \sqrt[n]{n} - \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

Genügt es jetzt zu zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \cdot \sqrt[n]{n} - \sqrt{n} = \infty \cdot 1 - \infty = 0 \end{eqnarray*}$ ?

16.05.2013, 15:51

HAL 9000

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Das geht natürlich nicht: Mit der gleichen Begründung könntest du sagen

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} ((n+1)-n) = \lim_{n\to\infty} (n+1)- \lim_{n\to\infty} n = \infty - \infty = 0 \end{eqnarray*}$ ,

was himmelschreiender Blödsinn ist.

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Es ist $\begin{eqnarray*} e^x \geq 1+x \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also auch für $\begin{eqnarray*} x= -\frac{\ln(n)}{n} \end{eqnarray*}$ , das ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \geq 1-\frac{\ln(n)}{n} \end{eqnarray*}$

bzw. nach Kehrwertbildung

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \leq \frac{1}{1-\frac{\ln(n)}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}-1 \leq \frac{1}{\frac{n}{\ln(n)}-1} \end{eqnarray*}$ ,

das wäre ein möglicher Weg hin zu einer brauchbaren Abschätzung.

16.05.2013, 15:55

MatheNoobii

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Dann habe ich jetzt keine Idee mehr ! Bringt es etwas den Bruch zu erweitern?

16.05.2013, 16:22

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \frac{\ln(n)}{n^{\alpha}} = 0 \end{eqnarray*}$ für beliebiges $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ sollte bekannt bzw. schnell beweisbar sein. Mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das der Baustein, der hier noch fehlt.

16.05.2013, 17:15

MatheNoobii

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Ach ich hab deinen Weg oben garnicht gesehen! Ich dachte das wäre dein Untertitel oder wie auch immer man es nennt!

16.05.2013, 17:15

HAL 9000

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16.05.2013, 17:27

MatheNoobii

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Ich finde es trotzdem sehr schwer, das nachzuvollziehen beziehungsweise auf solch eine Lösung zu kommen. Ich denke ich warte bei dieser Aufgabe ab, bis wir sie verbessern :/ Sorry

16.05.2013, 17:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheNoobii
Ich finde es trotzdem sehr schwer, das nachzuvollziehen beziehungsweise auf solch eine Lösung zu kommen.

Ja und? Die Aufgabe ist ja auch keine Anfängeraufgabe für Grenzwertbetrachtungen, sondern normales Hochschulniveau.

16.05.2013, 18:12

MatheNoobii

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Jaa, aber ich möchte deine Nerven damit nicht länger ausreizen...

16.05.2013, 18:18

HAL 9000