Funktionen Vektorraum

15.05.2013, 16:11

Amplitude

Funktionen Vektorraum

Ich soll zwei Funktionen auf die Vektorraumaxiome überprüfen.

1) Ist $\begin{eqnarray*} \left\{ f: x \Rightarrow acos(x)+bsin(x)/a,b\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ ein Teilvektorraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums der Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

2) Ist die Teilmenge $\begin{eqnarray*} \left\{ p:x\Rightarrow x^{2}+ax+b/a,b\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ der reellen Polynome vom Grad 2 ein Vektorraum?

Bei der ersten Funktion muss ich ja nur die Untervektorraumaxiome überprüfen und im zweiten die Vektorraumaxiome oder? Ich bin etwas irritiert, da bei der zweiten Aufgabe eine Telmenge gegeben ist.

Ansonsten würde mich eine sehr wichtige Frage bezüglich solcher Aufgaben interessieren. Welche Eigenschaften müssen die Ergebnisse der Axiome aufweisen? Müssen sie in diesem Fall nur Reel sein oder müssen die Ergebnisse auch dieselben Funktionswertebereiche wie die vorgegebenen Funktionen haben?

15.05.2013, 16:36

Guppi12

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Zitat:

Ergebnisse der Axiome

Bitte was?

Du solltest dir schleunigst eine deutlich präzisere Sprache angewöhnen. Das ist in der Mathematik extrem wichtig und du wirst nicht sehr weit kommen, wenn das so bleibt.

15.05.2013, 17:07

Amplitude

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Ja, da muss ich dir recht geben und ich werde mich deshalb auch intensiver damit beschäftigen.

Wie würdest du an solch eine Aufgabe rangehen? Ich kenne die Axiome. Ich weiss wie ich sie anwenden kann. Ich weiss jedoch nicht ob die Lösung z.b. bezogen auf die Untervektorraumkriterien dieselben Eigenschaften trägt wie die vorgegebenen.

Zur ersten Funktion:

1. Sie besitzt eine Nullfunktion für a=b=0.
2. Die Addition funktioniert zwar. Ich weiss aber nicht was ich nun machen muss. Das klingt jetzt wahrscheinlich sehr verwirrend, aber ich möchte gerne wissen, sobald ich die Addition von z.b. (c*cos(x)+d*sin(x) )+(e*cos(x)+f*sin(x) )anwende. Bekomme ich auch ein Ergebnis heraus. Welche Eigenschaft muss das Ergebnis aber haben, damit es ein Teilvektorraum des R(Rell)-Vektorraums ist? Muss es Rell sein oder muss es dieselben Funktionswerte annehmen können? Ich gebe mein bestes mein Problem darzustellen, aber so einfach ist das nunmal nicht.^^

15.05.2013, 18:24

Mazze

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Zitat:

1. Sie besitzt eine Nullfunktion für a=b=0.

Ja, das ist in Ordnung

Zitat:

Ich weiss aber nicht was ich nun machen muss.

Du hast zwei Funktion f,g von denen Du weißt dass sie zur Menge gehören. Beweisen sollst Du dann, dass auch die Summe $\begin{eqnarray*} f + g \end{eqnarray*}$ zur Menge gehört. Nach Definition gehört die Summe genau dann zur Menge, wenn Du zwei reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ findest mit $\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) = c_1 \cos(x) + c_2sin(x) \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen dass f,g zur Menge gehören, also gibt es reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_1\cos(x) + a_2\sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = b_1 \cos(x) + b_2 \sin(x) \end{eqnarray*}$

Wie kriegst Du daraus jetzt deine $\begin{eqnarray*} c_1,c_2 \end{eqnarray*}$ ? Ist ansich nur Grundschulmathematik Augenzwinkern

15.05.2013, 20:56

Amplitude

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Was ist die vorgegebene Menge ? Ich lese die Eigenschaften immer etwas falsch, das braucht noch etwas Übung bei mir. Eventuell definier ich die fordernde Menge falsch in der die Lösung sein soll. Wenn ich exakt weiss, in welcher Menge das Ergebnis sein soll bzw. welche Eigenshaften sie haben soll kann ich zeigen ob sie ein Vektorraum bzw Untervektorraum ist.

15.05.2013, 21:01

Mazze

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Die vorgebene Menge ist

$\begin{eqnarray*} \left\{ f: x \Rightarrow acos(x)+bsin(x)/a,b\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ e

"Übersetz" heißt das : Alle Funktion die sich für reelle a,b als $\begin{eqnarray*} acos(x)+bsin(x) \end{eqnarray*}$ darstellen lassen, gehören zur Menge.

15.05.2013, 21:19

Amplitude

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Ja na klar ist das ein Untervektorraum/Teilvektorraum. Nicht nur da es eine Nullfunktion gibt mithilfe von a=b=0.

Wenn ich die Addition verwende dann kann ich die sin8x) und cos(x) zusammenfassen zu derselben Form wie die vorgegebene Menge!

Und dasselbe gilt für ein skalar, wobei sich hier nur a und b ändert wenn man die komplette Funktion in Klammern setzt und diese mit einem Skalar multipliziert. Ist das richtig?

Es ist richtig das ich 6cos(x)+4cos(x) zusammenfassen kann zu 10cos(x) oder ?

15.05.2013, 21:26

Mazze

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Zitat:

Ist das richtig?

Ja, wenn Du es auch so formulierst wie Du es aufschreibst hier.

Zitat:

Es ist richtig das ich 6cos(x)+4cos(x) zusammenfassen kann zu 10cos(x) oder ?

Jap, technisch wird hier cos(x) ausgeklammert. Denk aber dran das Du das für allgemeine a,b zeigen musst , nicht für explizite Werte.

15.05.2013, 21:52

Amplitude

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Wie zeige ich das? Gilt ja im Prinzip auch für die Allgemeinheit. Deshalb reicht es wenn ich mir variablen ausdenke oder?

Bezüglich der zweiten Funktion.

Eine Nullfunktion ist vorhanden.
Aber die Addition funktioniert glaube ich nicht, da 2x^2 am Anfang stehen kann wenn ich nun z.B. die Funktion mit sich selbst addiere. Und das entspricht nicht der x^2 ohne Koefiziennten.

Ich bin mir etwas unsicher...

15.05.2013, 21:55

Mazze

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Zitat:

Wie zeige ich das? Gilt ja im Prinzip auch für die Allgemeinheit. Deshalb reicht es wenn ich mir variablen ausdenke oder?

Etwas unglüclklich formuliert. Du "denkst" dir nicht irgendwelche Variablen aus. Du nimmst an , das die Funktionen f und g zur Menge gehören und willst zeigen dass dann auch f + g zur Menge gehört. Nun , was bedeutet dass f und g zur Menge gehören ? (hab ich oben schon geschrieben ). Das bedeutet, dass es reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = a_1 \cos(x) + a_2\sin(x) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g(x) = b_1 \cos(x) + b_2 \sin(x) \end{eqnarray*}$

ist. Und jetzt formen wir

$\begin{eqnarray*} f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ so um, wie Du es oben schon beschrieben hast und du erhälst deine Darstellung für die Summe.

Zitat:

Eine Nullfunktion ist vorhanden.

Achso? Für welche $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist denn $\begin{eqnarray*} x^2 + ax + b = 0 \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2013, 22:06

Amplitude

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Ich glaube die zweite muss gar nicht auf UV Kriterien untersucht werden oder? Da wird ja ganz genau von einem Vektorraum gesprochen. Ansonsten gebe ich dir recht das es keine Nullfunktion sein kann, da ja x^2 die bekannte parabel funktion ist

15.05.2013, 22:14

Mazze

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Naja, wenn schon kein Nullvektor da ist, ist es mit Sicherheit auch kein Vektorraum.

15.05.2013, 22:33

Amplitude

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Stimmt. Ich brauche den Nullvektor für den Vektorraum um folgendes zu zeigen:

0 + v = v für alle v aus V? Und das ist ja hier nicht möglich. Ich darf nicht vergessen, dass es sich um Funktionswerte handelt, denn manchmal lass ich mich irritieren und berechen unbewusst x^2=0 aus.

16.05.2013, 10:04

Mazze

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Zitat:

Ich darf nicht vergessen, dass es sich um Funktionswerte handelt, denn manchmal lass ich mich irritieren und berechen unbewusst x^2=0 aus.

Ich bin mir nicht im Klaren was Du hier genau meinst.

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