Pascalsche Schnecke

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Sway Auf diesen Beitrag antworten »
Pascalsche Schnecke
Hello,

ich hab hier folgende Kurve:



und ich soll die Umlaufzahl, sowie die Scheitelpunkte der Kurve berechnen, außerdem wird gefragt, warum der Viertscheitelsatz hier nicht anwendbar ist.

Die Umlaufzahl habe ich bereits berechnet und müsste -2 ergeben.

Jetzt habe ich eine Frage zu den Scheitelpunkten:

Was genau sind Scheitelpunkte? Besondere Punkte ist klar, aber sind das nur die Hoch- und Tiefstellen oder sind damit auch Schnittpunkte oder so gemeint?

Und wie berechne ich diese? Ist das wie in der Kurvendiskussion mit Ableitung 0 setzen? Habe keinen einzigen Punkt gefunden bei dem die Ableitung 0 ergibt...und der Vierscheitelsatz ist nicht anwendbar, weil die Kurve nicht einfach geschlossen ist!

Kann mir jemand helfen bitte?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Pascalsche Schnecke
Unter einem Scheitelpunkt versteht man üblicherweise einen Kurvenpunkt in dem die Krümmung ein lokales Extremum hat.
 
 
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das ändert natürlich einiges...

Jetzt hab ich für die Krümmung folgendes rausbekommen:



Kann natürlich sein, dass ich mich verrechnet hab, aber damit lässt sich nicht sehr viel anfangen oder?

Die Ableitung sieht furchtbar aus...

Hab ein Vereinfachen mit Mathematica probiert, auch zwecklos...

Kann man das viel. graphisch begründen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die von dir berechnete Krümmung sollte richtig sein. Die Ableitung der Krümmung lässt sich doch ohne große Probleme vereinfachen.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe!

Ich habe die Ableitung mittels Mathematica vereinfachen lassen und folgendes rausbekommen:



Dies hat Nullstellen für:



Und dieser ArcCos ist komplex, also ist hier nur die 0 interessant? Was sind das nun für Punkte? Brauche ich noch die zweite Ableitung?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Neben ist auch eine Nullstelle der Ableitung der Krümmung. Damit bist du fertig. Da es sich um eine geschlossene Kurve handelt, ist die Krümmung eine periodische und in dem Beispiel auch differenzierbare Funktion des Kurvenparameters. Deshalb hat sie in dem Periodizitätsintervall mindestens ein lokales Maximum und Minimum. Da du nur 2 potentielle Stellen für lokale Extrema gefunden hast, liegen dort lokale Extrema vor. Um zu sehen, wo diese liegen, brauchst du nur obige Werte des Kurvenparameters in die Kurve einzusetzen. Im Kurvenplot erkennt man, dass die Rechnung mit der optischen Erwartung übereinstimmt.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Das hätte man sich auch anschaulich und durch probieren überlegen können oder? Also das bedeutet, dass an diesen Stellen die Krümmung der Kurve "am stärksten" bzw. "am schwächsten" ist oder?

Gibt es eine Regelung, wieviele solche Krümmungsextrema eine Kurve hat?

Oder kann man immer nur sagen, wieviele es mindestens sein müssen? Wie z.B. beim Vierscheitelsatz oder wie du erwähntest bei einer periodischen, differenzierbaren Krümmung?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
Das hätte man sich auch anschaulich und durch probieren überlegen können oder?

Ja, nur hätte das nichts bewiesen.

Zitat:
Also das bedeutet, dass an diesen Stellen die Krümmung der Kurve "am stärksten" bzw. "am schwächsten" ist oder?

Ja.

Zitat:
Gibt es eine Regelung, wieviele solche Krümmungsextrema eine Kurve hat?

Bei einer geschlossenen Kurve gibt es gleich viele Maxima und Minima.

Zitat:
Oder kann man immer nur sagen, wieviele es mindestens sein müssen? Wie z.B. beim Vierscheitelsatz oder wie du erwähntest bei einer periodischen, differenzierbaren Krümmung?

Nach oben ist die Zahl nicht beschränkt. Um mehr sagen zu können, braucht man weitere Angaben zur Kurve, denke ich. Ich bin aber kein Kurvenspezialist.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Toll, ich dank dir vielmals, hast mir sehr geholfen!
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