Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen

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Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »
Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen
Hi, also ich hab mir mal den Trigonometrieteil in meinem Tafelwerk genauer angeguckt. Da hab ich ein paar Formeln gefunden, die ich noch nich kannte, deswegen werden jetz wohl öfters solche wie diese Fragen kommen:

Summen und Differenzen von Winkelfunktionen:

Da habe ich Formeln für








Bsp.:



Die anderen für sin und cos sehen ähnlich aus. Für cot steht keine da, die is aber ähnlich zu der von tan.

Nun meine Frage: Wie kommt man darauf?? Sicher kann man die rechte Seite vereinfachen und kommt dann auf die linke Seite, aber ich möchte eigentlich eine Herleitung, als wenn man eine Formel dafür sucht und man die Formel noch nich kennt, wenns geht natürlich geometrisch.

Das gleiche Problem hab ich auch bei den Formeln für die Produkte, also für



und auch wieder für cos, tan und cot.


Ich würd mich über Tipps bzw. Denkanstöße zur Herleitung freuen.
Danke euch!!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die von dir genannten Formeln sind nichts anderes als die Umkehrungen der Additionstheoreme.

Ein Beispiel:



Substituiert man hier y durch -y, folgt wegen cos(-y)=cos y und sin(-y)=-sin y



Addiert man nun die beiden Gleichungen, so erhält man



Das ist schon fast die gesuchte Formel. Jetzt führt man nur noch eine Umbenennung durch: u=x+y, v=x-y. Das ist ein lineares Gleichungssystem in x,y. Es kann leicht nach x,y aufgelöst werden.
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold! Dass das was mit Additionstheoremen zu tun hat, hab ich ja schon gesehen, als ich die linke auf die rechte Seite gebracht habe.

Kann man die Formeln auch (nicht zu kompliziert) geoemtrisch herleiten?? Wenn nicht, dann würde ich bei dem belassen, was du mir vorgeschlagen hast.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst das auch 'direkt' machen, ist letztendlich
aber nichts anderes als das von Leopold gepostete auch.

sin(a) = sin((a+b)/2 + (a-b)/2) = ...
sin(b) = sin((a+b)/2 + (-a+b)/2) = ...

Additionstheoreme anwenden, aufaddieren
sin(-c) =-sin(c)
cos(-c) = cos(c)
berücksichtigen, fertig

.
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