Polynome aus Daten

16.05.2013, 00:43	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome aus Daten Hallo, Ich habe einen empirischen Zusammenhang bei dem jeweils vier ganzzahlige Variable (die Klammerausdrücke) eine Gleichung über einen gemeinsamen Parameter x erfüllen und davon zwei Fälle... $\begin{eqnarray} <br /> (x+1)(x^2+1)-(x^2+x+1)(x)=1<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> (x+1)(x^2+x+1)-(x^2+2x+2)(x)=1<br /> \end{eqnarray}$ Dabei gilt außerdem... $\begin{eqnarray} <br /> x^2+2x+2 = (x+1)^2+1<br /> \end{eqnarray}$ so daß der zweite Term in 1 und der dritte Term in 2 im Prinzip dieselbe Zahlenfolge beschreiben, bloß um eine Einheit in x versetzt. In gewisser Weise sind die zwei Gleichungen sozusagen "symmetrisch". Jetzt die Frage...kommt das jemandem aus einem Bereich der Zahlentheorie oder der Algebra bekannt vor? Speziell...gibt es z.B. eine Reihe von Polynomen, die sich entsprechend entwickelt...also die als nulltes oder erstes Glied x hat und dann entsprechend die anderen Polynome nachfolgend...also $\begin{eqnarray} <br /> f(1) = x, f(2) = x+1, f(3) = x^2+1, f(4) = x^2+2x+2 = (x+1)^2+1<br /> \end{eqnarray}$ so etwas in der Art? Haben diese Polynome z.B. im Zusammenhang mit dem Quadratgitter bzw. dem hexagonalen Gitter in der Ebene irgendeine Bedeutung? Grüße
17.05.2013, 11:23	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Iridium, zum theoretischen Hintergrund kann ich nicht viel sagen, aber eine Möglichkeit deine Folge zu definieren wäre die Rekursion: $\begin{eqnarray} f(n) = f(n-2)^2 + 1 \end{eqnarray}$ mit den von dir gegebenen Startwerten $\begin{eqnarray} f(1) = x,~f(2) = x + 1 \end{eqnarray}$ allerdings ist $\begin{eqnarray} x^2 + x + 1 \end{eqnarray}$ kein Folgenglied. Edit: Die beiden von dir angegebenen Gleichungen sind übrigens gleichwertig, da sie immer wahr sind.
18.05.2013, 03:08	Iridium	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht die seltsame Art von "Symmetrie" irgendwie in Beziehung hierzu: http://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_%28Mathematik%29 ? Wenn ich es richtig sehe, kann man meine Gleichungen durch minimales Umstellen auf die dort beschriebene Form bringen?

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