einführung zu sigma algebra

16.05.2013, 11:24

clash

einführung zu sigma algebra

Meine Frage:
Hey!

Eine Bedingung dass F ein sigma algebra ist, wenn
$\begin{eqnarray*} A_1, \ldots, A_N \in F \textrm{ dann gilt } \cup^N_{n=1} \in F \end{eqnarray*}$ .

Warum brauchen wir diese Bedingung?

Meine Ideen:
Weil wenn $\begin{eqnarray*} A_1 \in F~ und~ A_2 \in F ~warum ~sollte ~A_1 \cup A_2 ~nicht \in F ~sein?<br /> \end{eqnarray*}$

Cheers

16.05.2013, 15:06

Math1986

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RE: einführung zu sigma algebra
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{1,2\right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal F =\left\{\emptyset,\left\{1\right\},\left\{2\right\}\right\} \end{eqnarray*}$
wäre keine Sigma-Algebra.

16.05.2013, 18:42

clash1

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RE: einführung zu sigma algebra
Danke! Ich hätte noch eine Frage:
Es geht um Randomvariablen und wieder Sigma Algebren.
Definition einer RV X ist:
Der Wahrscheinlichkeitsraum ist $\begin{eqnarray*} (\Omega, F, P) \end{eqnarray*}$ .
Wenn ein Subset von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , für jedes Borel Set B, definiert durch
$\begin{eqnarray*} \{X \in B \} = \{\omega \in \Omega|X(\omega) \in B \} \end{eqnarray*}$
ein Element vom Sigma-Algebra F ist, dann ist die Funktion X eine Random Variable.

Hier hänge ich etwas. Ich versuche ein Beispiel auszudenken, wenn X keine Random Variable ist. Mir kommt vor, dass die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \{X \in B \} = \{\omega \in \Omega|X(\omega) \in B \} \end{eqnarray*}$
doch für beliebige Funktionen von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ erfüllt ist?

Vielleicht kann mir wer helfen, wahrscheinlich wirds einfach ein bisserl Zeit benötigen, um es zu überdenken smile

.

Cheers

16.05.2013, 21:52

Che Netzer

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RE: einführung zu sigma algebra
Um die Begriffe mal zu klären:
Random variables sind auf deutsch Zufallsvariablen.
Eine Sigma-Algebra ist feminin (eine, nicht ein).
Set heißt Menge, subset also Teilmenge und Borel set steht für Borelmenge.

Zum Gegenbeispiel:
Nimm dir einen Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit mindestens zwei Elementen und die Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal F:=\{\emptyset,\Omega\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt wähle eine Funktion auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die nicht konstant ist [anscheinend bilden eure Zufallsvariablen nur nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Borel-Sigma-Algebra ab] und zeige, dass diese keine Zufallsvariable ist.

Übrigens genügt die von dir angegebene Forderung an die Vereinigungen nicht für Sigma-Algebren. Dort müssen auch abzählbare Vereinigungen wieder in der fraglichen Sigma-Algebra enthalten sein.

17.05.2013, 16:46

clash2

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RE: einführung zu sigma algebra
Danke für deine Hilfe. Hier zeige ich das X keine Zufallsvariable ist:

Wahrscheinlichkeitsraum:
$\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{F}, P) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Omega=\{1,2\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal F =\{\emptyset,\Omega\} \end{eqnarray*}$

Da wir für die den Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge B finden können, so dass die Menge definiert durch
$\begin{eqnarray*} \{X \in B \} = \{\omega \in \Omega|X(\omega) \in B \} \end{eqnarray*}$
nicht Teilmenge von der Sigma Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ keine Zufallsvariable.

Wäre die Sigma Algebra definiert als $\begin{eqnarray*} \mathcal F =\{\emptyset,\Omega, 1, 2\} \end{eqnarray*}$
dann wäre X eine Zufallsvariable, richtig?

Cheers

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17.05.2013, 16:54

Che Netzer

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RE: einführung zu sigma algebra

Zitat:

Original von clash2
Da wir für die den Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge B finden können, [...]

Das ergibt keinen Sinn. Was soll das heißen?

Zitat:

Teilmenge von der Sigma Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ ist

Es geht nicht darum, ob etwas eine Teilmenge der Sigma-Algebra ist, sondern darum, ob etwas ein Element der Sigma-Algebra ist.

Zitat:

Wäre die Sigma Algebra definiert als $\begin{eqnarray*} \mathcal F =\{\emptyset,\Omega, 1, 2\} \end{eqnarray*}$
dann wäre X eine Zufallsvariable, richtig?

Genau genommen ist das keine Sigma-Algebra. Wenn man aber hineininterpretiert, was du meinen könntest, dann schon.

17.05.2013, 17:34

clash2

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In anderen Worten, weil wir eine Borelmenge B (Teilmenge von reellen Zahlen) finden können, so dass die Teilmenge vom Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} \{X \in B\}=\{\omega \in \Omega|X(\omega) \in B \} \end{eqnarray*}$ nicht Element von der Sigma-Algebra ist, wissen wir dass X keine Zufallsvariable ist.

Warum $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ keine Sigma Algebra über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, sehe ich nicht.
Drei Bedingungen:
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine nicht leere Menge.
(i) $\begin{eqnarray*} \Omega \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ (ii) $\begin{eqnarray*} A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} A^c = \Omega \setminus A \in \mathcal F \end{eqnarray*}$ (iii) Wenn eine unendliche Folge Element ist, muss auch die Vereinigung dieser Element sein.

Bedingung (i) ist erfülllt. Bedingung (ii) ist erfüllt. Bedingung (iii) ist nicht relevant hier.

Wenn du einen wichtigen Verständnis Fehler entdeckst, wär super wenn du mich darauf hinweisen könntest. Danke

17.05.2013, 17:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von clash2
In anderen Worten, weil wir eine Borelmenge B (Teilmenge von reellen Zahlen) finden können, so dass die Teilmenge vom Raum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} \{X \in B\}=\{\omega \in \Omega|X(\omega) \in B \} \end{eqnarray*}$ nicht Element von der Sigma-Algebra ist, wissen wir dass X keine Zufallsvariable ist.

Ja, genau das sollst du zeigen.

Zitat:

Warum $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ keine Sigma Algebra über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, sehe ich nicht.

Dein $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ besteht nicht aus Mengen.
Und wieso sollte der dritte Punkt nicht relevant sein?

17.05.2013, 18:14

clash2

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Zitat:

Dein $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ besteht nicht aus Mengen.

Gut.

Zitat:

Und wieso sollte der dritte Punkt nicht relevant sein?

Punkt (iii) verlangt, dass die Vereinigung der Mengen $\begin{eqnarray*} \{1\},\{2\} \end{eqnarray*}$ ein Element der Sigma Algebra ist. Dies ist erfüllt. Also ist schon relevant.

17.05.2013, 18:20

Che Netzer

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Ja. D.h. du müsstest $\begin{eqnarray*} \mathcal F=\bigl\{\emptyset,\{1\},\{2\},\Omega\bigr\} \end{eqnarray*}$ schreiben, dann ist es wieder eine Sigma-Algebra.

Und ja, jede Funktion, die auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit diesem $\begin{eqnarray*} \mathcal F \end{eqnarray*}$ definiert ist, ist messbar.

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