Summenformel für 2^n

16.05.2013, 16:23

KomischeSumme

Summenformel für 2^n

Meine Frage:
Hallo alle zusammen!

Ich bin bei einer Aufgabe auf folgende Reihe gestoßen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^k \binom{n}{k} \frac{(2n-2k)!}{(n-2k)!} = 2^n n! \end{eqnarray*}$

Habe es bisher noch nicht geschafft das zu beweisen...

Kennt jemand von euch noch mögliche Ansätze? Vielleicht sowas in Richtung Taylor-Entwicklung von $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ oder ähnlich?

Viele Grüße,
Stefan

Meine Ideen:
Habe bereits versucht das mit vollständiger Induktion zu zeigen, klappt aber nicht bei mir...

Habe auch versucht irgendwie das (äquivalent) zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} (-1)^k \frac{(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} = 2^n \end{eqnarray*}$

17.05.2013, 08:37

klarsoweit

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RE: Summenformel für 2^n
Bevor wir uns damit das Hirn zermartern, wäre es vielleicht sinnvoller, wenn du mal die komplette Aufgabe postest.

17.05.2013, 10:01

HAL 9000

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Mir fällt ein kombinatorischer Beweis der Formel ein, indem man

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Paare gegeben, d.h. insgesamt $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ Objekte. Zu bestimmen ist jetzt die Anzahl der Auswahlmöglichkeiten von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus diesen $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ Objekten derart, dass von jedem Paar genau ein Objekt in der Auswahl ist.

auf zwei verschiedene Weisen abzählt.

EDIT: Eine denkbare Verallgemeinerung ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{(m-1)n}{m} \right\rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{m(n-k)}{n} = m^n \end{eqnarray*}$

für alle ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\geq 1 \end{eqnarray*}$ - deine Formel wäre dann Spezialfall $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ .

18.05.2013, 15:21

Komische Summe

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Dankeschön
Danke für die Antwort!

Die Aufgabe ist eigentlich zu zeigen,

dass $\begin{eqnarray*} P_n(1) = 1 \end{eqnarray*}$

für alle n, wobei $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ die Legendre-Polynome sind.

Habe dann diese Reihendarstellung aus der Rodrigues-Formel hergeleitet,
die in der Aufgabenstellung gegeben war.

Die Aufgabe an sich zu lösen ist wahrscheinlich auf andere Weise einfacher!

Gruß

18.05.2013, 18:17

RavenOnJ

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Wenn du nur $\begin{eqnarray*} P_n(1)=1 \end{eqnarray*}$ beweisen willst: Das folgt sehr einfach aus der Rekursionsformel

$\begin{eqnarray*} (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x) \end{eqnarray*}$

mit vollständiger Induktion.

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