Geometrische Wahrscheinlichkeit im Rechteck

16.05.2013, 18:42

Karlheinz11

Geometrische Wahrscheinlichkeit im Rechteck

Meine Frage:
Hallo, habe folgende Aufgabe:
Es wird zufällig ein Punkt $\begin{eqnarray*} P(x,y) \end{eqnarray*}$ aus dem Rechteck $\begin{eqnarray*} B:=\{(x,y):|x|<4, |y|<3\} \end{eqnarray*}$ ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$ , dass ein zufällig ausgewählter Punkt aus dem Rechteck $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine Entfernung kleiner oder gleich $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vom Ursprung hat. hierbe sei $\begin{eqnarray*} r\in[0,5] \end{eqnarray*}$ . Insbesondere berechne Sie $\begin{eqnarray*} P(A_4) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(a_5) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
In der Vorlesung hatten wir die geometrische Wahrscheinlichkeit als $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{|A|}{|Q|} \end{eqnarray*}$ definiert, wobei $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ das Volumen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.
Ich denke mal, dass $\begin{eqnarray*} |Q| \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 8\cdot6=48 \end{eqnarray*}$ ist.
Bloß wie bekomme ich jetzt $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ heraus?
Vielen Dank für jegliche Hilfestellungen!

18.05.2013, 09:40

chris_78

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$\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ ist doch der Anteil der Fläche des Kreises um den Ursprung mit dem Radius r, der innerhalb des Rechtecks liegt.
Ich würde da mit dem Integral rangehen.

23.05.2013, 09:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von chris_78
Ich würde da mit dem Integral rangehen.

Oder auch einfach mit Flächenformeln vom Kreissegment.

23.05.2013, 15:06

Karlheinz11

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Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde. Wir hatten letztens im Seminar ein ähnliches Problem behandelt, da ist mir das klar geworden.
Wie chris_78 sagte, $\begin{eqnarray*} |A| \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes als die Fläche des Kreises, die im Rechteck liegt.

Ich hab es jetzt auch herausbekommen. Genauso wie HAL 9000 gesagt hat.
Musste 3 Fälle unterscheiden und dann war das eigentlich total simpel.

Danke für eure Hilfe. Augenzwinkern

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