Restgliedabschätzung Integralform (Taylor)

16.05.2013, 19:31	Ellissa89	Auf diesen Beitrag antworten »
Restgliedabschätzung Integralform (Taylor) Meine Frage: Hallo! Ich habe flg. Aufgabe, bei deren Lösung ich scheitere... :-( Errechne zu f(x)= $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x} \end{eqnarray}$ ,a=0 das Taylorpolynom 3. Grades und schätze dann die Integralform des Restgliedes so ab, dass gezeigt wird: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{3/2}-157/128\| \leq 1/400 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe das Taylorpolynom errechnet durch entsprechende Bildung der Ableitungen sowie die Funktionswertbestimmung für a=0. ich komme dabei auf : $\begin{eqnarray} T_3 f(x)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3(-\frac{5}{128}x^4) \end{eqnarray}$ Der Wert in Klammern gehört doch nicht zum Taylorpolynom 3.Grades,wenn ich das richtig verstanden habe??? Jetzt bin ich aber mit einer Restgliedabschätzung überfordert. Ich glaube die Restgliedformel in Integralform lautet doch: $\begin{eqnarray} R_{m+1}^a =\int_a^x \! f^{m+1}(t)(x-t)^{m+1}/m! \, dt \end{eqnarray}$ also im Falle a=0 und m=3 dann eben: $\begin{eqnarray} R_{4}^0=\int_0^x \! f^{4}(t)(x-t)^{4}/3! \, dt \end{eqnarray}$ Ist das so richtig?!? Ich habe leider jetzt keine Ahnung, wie ich dieses Restglied abschätzen soll/kann - ich verstehe den Zusammenahng auch nciht wirklich! Leider! Ich wäre super dankbar über Hilfe! Schon mal danke vorab... LG
16.04.2016, 13:51	momo110	Auf diesen Beitrag antworten »
Hänge an der gleichen Aufgabe und habe leider keinen Ansatz! Die Integralform des Restgliedes habe ich berechnet: $\begin{eqnarray} R_{4}^{0} (f)(x) = \int_{0}^{x} \! - \frac{15}{16\sqrt{(1+t)^7}} \frac{(x-t)^3}{6} \, dt \end{eqnarray}$
16.04.2016, 15:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restgliedabschätzung Integralform (Taylor) Berechnet einmal $\begin{eqnarray} f(\frac 1 2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_3f(\frac 1 2) \end{eqnarray}$ . Hoffentlich bekommt ihr dann eine Idee.
17.04.2016, 01:14	momo110	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(\frac 1 2) = \sqrt{\frac 3 2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_3f(\frac 1 2) = \frac {157} {128} \end{eqnarray}$ Also soll ich zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \|\int_{0}^{\frac 1 2} \! - \frac{15}{16\sqrt{(1+t)^7}} \frac{(\frac 1 2 -t)^3}{6} \, dt\| \leq \frac {1} {400} \end{eqnarray}$ Und jetzt muss ich versuchen, das Integral geeignet abzuschätzen?
17.04.2016, 08:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ könntest du es auch explizit auswerten, aber der Optimist in mir hofft es reicht die Wurzel geeignet abzuschätzen und es reicht noch für die Aufgabe.

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