Vektorfeld

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Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld
Meine Frage:
Hallu beisammen,

bin momentan bei Vektorfeldern. Meine Aufgabe lautet so:



Berechnen Sie und .

Bestimmen Sie, für welche Werte das Vektorfeld ein Potential besitzt, und berechnen Sie dieses.

Berechnen Sie jeweils für und das Kurvenintegral von längs der Kurve mit

.

Meine Ideen:
Bei denke ich, dass ich es hinbekomme, wobei ich bei der Divergenz die partiellen Ableitungen gebildet habe, jedoch nicht weiß womit ich es multiplizieren soll. (also skalarmäßig. Bei und eher nicht viele Ideen.

Also ein Vektorfeld ist das Gradientenfeld einer Funktion , wenn , so bezeichnet man als Potential. Was ist dann denn jetzt genau das Potential?

Ein danke an alle lieben Helfer.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Pauline21
Bei denke ich, dass ich es hinbekomme, wobei ich bei der Divergenz die partiellen Ableitungen gebildet habe, jedoch nicht weiß womit ich es multiplizieren soll.

Multiplizieren musst du die mit gar nix mehr, wenn ich dich richtig verstehe. Einfach aufsummieren. Was hast du denn erhalten? Im Prinzip bildest du das Skalaprodukt des Nabla-Operators mit v.

Zu ii) Zum Beispiel besitzt so ein Feld genau dann ein Potential, wenn die Rotation verschwindet. Da du selbige ja in i) schon berechnet hast (was hast du da denn raus?), würde ich es sich ja anbieten, darauf aufzubauen.

Um das Potential dann zu bestimmen, kannst du ausgehend von ja mal ganz systematisch vorgehen. Da du v schon kennst (ist gegeben), liefert dir das Rückschlüsse darüber, wie f aussehen müsste (Integrieren!).

Um iii) solltest du dich erst kümmern, wenn i) und ii) erledigt sind. Vielleicht kann man sich ja Arbeit sparen (wohlgemerkt, vielleicht, ich habe jetzt nix selber gerechnet).
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld


v ist doch


Also:



Erstaunt1
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Pauline21

Nein.

Was du tun musst: Die x-Komponente nach x ableiten, die y-Komponente nach y und die z-Komponente nach z. Die Summe bildet dann den Gradienten.

Das muss am Ende also ein Skalar ergeben.



(Definition nochmal nachschlagen)

Zitat:
Original von Pauline21
v ist doch

verwirrt ist laut deiner eigenen Aussage gegeben als



Die Rotation ist aber richtig. Und nun kannst du doch leicht angeben, für welche die Rotation verschwindet. Das kannst du dann ja in ii) schon mal benutzen.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld


Jop. Jetzt müsste die Divergenz stimmen.
Die Rotation ist:



Jetzt sieht man ja das für das Potential verschwindet. Wie berechne bzw. bestimme ich es denn? Und was kann ich mir darunter vorstellen?

PS: Danke für die späte Antwort Freude
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Naja, über die Beziehung geht's jetzt weiter.

Dieses f muss also erfüllen:



Das liefert dir doch drei Gleichungen. Jetzt musst du eben alle drei Gleichungen nach der entsprechenden Variable integrieren und das richtig zusammenpflücken.

Für setzt du natürlich erstmal 1 ein. Sonst gibt's ja gar kein Potential.

Darunter vorstellen kannst du dir in der Mathematik erstmal wenig. Wenn, dann müsstest du schon auf anwendungsbezogene Beispiele z.B. in der Physik schielen.

Im Prinzip kann man das Potential auch fast schon erraten. Augenzwinkern Aber du kannst auch zu Fuß rechnen, wenn du es nicht siehst.
 
 
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Mulder
Das liefert dir doch drei Gleichungen. Jetzt musst du eben alle drei Gleichungen nach der entsprechenden Variable integrieren und das richtig zusammenpflücken.


Pflücken ist aber eine einfache Tätigkeit Big Laugh . Nein sehe es irgendwie nicht. Obwohl .

Ansonsten wie meinst du das mit alle drei Gleichungen nach der entsprechenden Variable integrieren?







So? Und dann?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Pauline21
Ansonsten wie meinst du das mit alle drei Gleichungen nach der entsprechenden Variable integrieren?







So? Und dann?

Jetzt alle drei Gleichungen einfach integrieren. Bei der ersten z.B.



Das deswegen, weil bei der Integration nach x theoretisch noch Terme hinzukommen können, die nur von y und z abhängen, denn die würden ja, wenn du wieder nach x ableitest, verschwinden, weil y und z in dem Moment als konstant anzusehen sind.

Das ist halt wie sonst auch beim Integrieren, da können ja Integrationskonstanten dazu kommen. In diesem Fall darf diese "Konstante" dann aber eben auch von y und z abhängen.

Mit den beiden anderen Gleichungen machst du das jetzt analog und dann vergleichen.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Mulder



Das deswegen, weil bei der Integration nach x theoretisch noch Terme hinzukommen können, die nur von y und z abhängen, denn die würden ja, wenn du wieder nach x ableitest, verschwinden, weil y und z in dem Moment als konstant anzusehen sind.

Das ist halt wie sonst auch beim Integrieren, da können ja Integrationskonstanten dazu kommen. In diesem Fall darf diese "Konstante" dann aber eben auch von y und z abhängen.

Verstehe schon danke Augenzwinkern







So. Hm.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Pauline21





Okay. Die rot markierten Terme musst du jetzt jeweils so setzen, dass auf der rechten Seite überall das gleiche steht, in allen drei Gleichungen.

(vielleicht wäre es auch übersichtlicher gewesen, die nicht alle C zu nennen, sondern einen D und den anderen E oder so)
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Mulder
Okay. Die rot markierten Terme musst du jetzt jeweils so setzen, dass auf der rechten Seite überall das gleiche steht, in allen drei Gleichungen.

(vielleicht wäre es auch übersichtlicher gewesen, die nicht alle C zu nennen, sondern einen D und den anderen E oder so)


Geht schon Augenzwinkern wollen wir mal nicht kleinkarriert sein.







Wenn man doch z.B. wählt steht rechts, jeweils das Gleiche.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Das macht keinen Sinn, du sollst für x,y und z nichts einsetzen. Da sollen jeweils die gleichen Funktionen auf der rechten Seite stehen. Du willst doch das f bestimmen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Übrigns noch ein Tippfehler weiter oben:

Zitat:
Original von Pauline21

Das x ist da zuviel.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Hmm. Jetzt weiß ich nicht weiter. Ich sollte die roten Terme auf der rechten Seite so setzen, damit sie gleich sind. Wie soll ich sie dann gleich machen, wenn ich nichts einsetzen soll?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Da kann ich jetzt keinen sinnvollen Tipp mehr geben...

Setze C(y,z)=zln(y) und C(x,z)=zln(x) und C(x,y)=0 dann passt es doch schon.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld






Ich weiß nicht ich verstehe das nicht. Wie soll man da jetzt was bestimmen? Normalweise hatten wir ja:







Wieso ist jetzt beim letzten Null geschockt
Rabbi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Pauline21m
Verstehe schon danke Augenzwinkern

Was zu bezweifeln ist, siehe folgendes: Tanzen

Zitat:
Original von Pauline21






So. Hm.

Gradientenbildung vom Potenzial wäre demnach gleich dem Potenzial. Big Laugh => GdC !

Außerdem geht es in diesem Thread wild durcheinander mit dem Vektorfeld und dem Potenzial f ! Teufel

GdC = 'Grand de Caque'
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Dann bitte ich um DgR=Die grande Richtigkeit.
Rabbi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Hey !

Das Potenzial f ist:



oder



oder



Vergleich von I) und II) liefert:

Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Zitat:
Original von Rabbi
Hey !

Das Potenzial f ist:



oder



oder



Wieso, oder?

Zitat:
Original von Rabbi

Vergleich von I) und II) liefert:



Wieso ergibt der Verlgeich von I) und II) das? Was verstehst du unter Vergleich? Wie kommst du darauf?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte um Aufklärung, ich weiß da nicht weiter. Die habe ich angefangen und komme recht gut voran, würde davon aber erst berichten, wenn die fertig ist.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Möchte mir keiner die Unklarheiten beseitigen verwirrt das würde mich wirklich freuen.
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Du kriegst 3 verschiedene Potentiale. Am Ende möchte man aber ein einzelnes haben. Dementsprechend vergleichst du I,II,III so, dass du mittels Integrationskonstanten die Potentiale jeweils angleichst und am Ende bei I,II,III das gleiche Ergebnis stehen hast.

Du musst "nur" die Integrationskonstanten richtig wählen
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von McClane
Dementsprechend vergleichst du I,II,III so, dass du mittels Integrationskonstanten die Potentiale jeweils angleichst und am Ende bei I,II,III das gleiche Ergebnis stehen hast.

Du musst "nur" die Integrationskonstanten richtig wählen


Das erscheint mir irgendwie seltsam. Ich habe es ja versucht, aber wie bekommt man das Gleiche überall heraus?
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du den deine Integrationskonstanten gewählt?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld
Also nochmal.

Das Potenzial f ist:



oder



oder



Jetzt habe ich anfangs irgendwie etwas gewählt, z.B. war ja falsch... Wie soll ich es dann wählen damit die Gleichheit herauskommt. bzw. was muss ich wie wählen?
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir mal I und II an. Wie müsste jeweils die Integrationskonstante aussehen, damit beide Potentiale gleich sind?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

oder müsste man doch wählen damit es gleich wird. Eher letzteres da der nicht definiert ist.
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Du musst die Integrationskonstanten entsprechend wählen. Also wie müssten die C()'s aussehen?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Vor dem Problem stand ich ja schon vor paar Tagen.





Damit die Konstanten doch gleich sind, muss doch entweder das eine zum werden oder das eine zum anders geht's doch nicht verwirrt
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst es dir zu kompliziert. Augenzwinkern

C(y,z) bedeutet, dass du eine Konstante hast, die von y und z abhängt. NICHT von x.

Nun musst du dir entsprechende integrationskonstanten überlegen, so das I,II,II gleich sind.

Die Integrationskontanten sind i-welche Terme. Bei C(y,z) also alle Terme, die nicht von x abhängen
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja eben, aber wie soll es dann gleich werden? Wenn die Konstanten nicht von der jeweilige Variable abhängen, müssen doch die anderen gleich sein, damit sie am Ende gleich sind unglücklich Ich bin am Verzweifeln ehrlich.
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Für I und II muss gelten:



Jetzt denk dir i-welche Terme für die C()'s aus, damit die Gleichung erfüllt ist. Achte nur darauf, von welchen welchen Variablen die C()'s überhaupt abhängen dürfen
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von McClane
Jetzt denk dir i-welche Terme für die C()'s aus, damit die Gleichung erfüllt ist. Achte nur darauf, von welchen welchen Variablen die C()'s überhaupt abhängen dürfen




Kann es sein, dass du das im Argument vom vertauscht hast?
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Sry unglücklich

Habe es oben schon abgeändert
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »



Schon oki, bestimmt ein Test deinerseits Augenzwinkern

Jetzt soll ich mir irgendwelche Terme für die denken, damit die Gleichung erfüllt ist und dabei achten wovon die abhängen. Hm.

Ich würde jetzt wieder wie vorhin wählen, aber das ist ja falsch. verwirrt
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Was musst du den auf beiden Seiten dazuaddieren, damit beides gleich ist?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von McClane
Was musst du den auf beiden Seiten dazuaddieren, damit beides gleich ist?




Ist doch egal was ich dazuaddiere, die Argumente sind doch anders, dann kann doch keine Gleichheit damit ergeben geschockt
McClane Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist den wenn zb ist?
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist:

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