Differenzialgleichung

24.02.2007, 15:43

Shawnstein

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Differenzialgleichung

Hallo ihr Lieben,

bräuchte mal wieder einen kleinen Denkanstoß für folgende Aufgabe...

Gegeben ist folgende Differenzialgl für die gesuchte Funktion y=y(x)

$\begin{eqnarray*} y^{'''} - y^{''} - 8y^{'} +12y = 0 \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung?

Wie geht man an eine solche Aufgabe ran?

24.02.2007, 16:09

sqrt4

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ich hatte das zwar noch nicht, aber macht man das nicht mit so nem Exponentialansatz?

$\begin{eqnarray*} y=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

und dann die Nullstellen davon berechnen.

$\begin{eqnarray*} \lambda^3-\lambda^2-8\lambda+12=0 \end{eqnarray*}$

P.S.:
um das ganze etwas zu beschleunigen.
Es ist

$\begin{eqnarray*} \lambda^3-\lambda^2-8\lambda+12=(\lambda-2)^2(\lambda+3) \end{eqnarray*}$

25.02.2007, 09:37

Shawnstein

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Huhu :p

jo danke dir für die Lösung! Habs nachvollzogen...

Wusste halt nciht das man hier den sogenannten e-Ansatz nutzen muss...

Hab dank!

25.02.2007, 10:05

Shawnstein

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Nochmal kurz:

also ist wie in der Aufgabenstellung gefordert die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung:

$\begin{eqnarray*} y = c_1 * e^{2x} + c_2 e^{-3*x} \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2007, 10:09

PsyPhi

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Nicht ganz - du hast die 2 ja als doppelte Nullstelle drin, d.h. ein Fundamentalsystem bilden
$\begin{eqnarray*} \{ e^{2x}; xe^{2x}; e^{-3x} \} \end{eqnarray*}$

25.02.2007, 10:10

sqrt4

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hmm.. ich hätte gesagt, dass drei linear unabhängige Lösungen (keine Ahnung ob man das so sagt verwirrt

verwirrt

)

$\begin{eqnarray*} y=xe^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{-3x} \end{eqnarray*}$

wären.
Aber vllt kann man das so darstellen wie du das geschrieben hast, aber da wird glaub ich die 1. Lösung außer Acht gelassen

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25.02.2007, 10:12

Shawnstein

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Zitat:

Original von sqrt4

$\begin{eqnarray*} y=xe^{2x} \end{eqnarray*}$

versteh ich grad nicht warum das zur Lösung gehört?

25.02.2007, 10:13

sqrt4

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Das liegt daran, dass 2 eine doppelte Nullstelle ist.

Allg. gilt:

Ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eine n-fache Nullstelle, dann sind

$\begin{eqnarray*} a_k=x^{k-1}\cdot e^{\lambda\cdot x} \end{eqnarray*}$

alles lösungen der Diff-Gleichung

für $\begin{eqnarray*} k \in \{ 1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$

25.02.2007, 10:14

Shawnstein

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$\begin{eqnarray*} y=xe^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{2x} \end{eqnarray*}$

jo, aber wie kommt das x jetzt da hin?

25.02.2007, 10:17

sqrt4

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Ich denke du solltest dir die Theorie dazu nochmal reinziehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S. beachte bitte, was ich oben noch editiert habe

25.02.2007, 10:28

Shawnstein

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Mh... so richtig macht es nicht klick...

In meinem schlauen Blüchlein steht...

besitzt dieses Polynom n verschiedene reele Nullstellen $\begin{eqnarray*} r_1,....,r_n \end{eqnarray*}$ , so ist jeder der n Funktionen:

$\begin{eqnarray*} y = e^{rix} (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

und damit auch jede Linearkombination

$\begin{eqnarray*} y= c_1*e^{r_1*x} + ...... + c_n*e^{r_n*x} \end{eqnarray*}$

eine Lösung der Differenzialgleichung.

Da nun die 2 doppelte Nullstelle ist habe ich doch nur n=2 verschiedene Nullstellen. Demzufolge müssten doch auch nur die beiden Lösungen:

r=2 und r=-3 relevant sein...

$\begin{eqnarray*} y = e^{2*x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = e^{-3*x} \end{eqnarray*}$

25.02.2007, 10:32

sqrt4

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du zitierst es ja selber: " verschiedene Nullstellen". Das ist hier nicht der Fall !!!

Probier doch einfach mal $\begin{eqnarray*} y=x\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$ aus

25.02.2007, 10:44

Shawnstein

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Ah jo der Groschen ist gefallen! Danke dir für Hilfe und Ausdauer!^^

25.02.2007, 13:41

Monstar

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Zitat:

Original von sqrt4
$\begin{eqnarray*} \lambda^3-\lambda^2-8\lambda+12=(\lambda-2)^2(\lambda+3) \end{eqnarray*}$

hm, wie kommt man denn auf diese schöne darstellung?

25.02.2007, 13:43

sqrt4

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tja entweder du bist faul und plottest die Funktion und schaust wo die Nullstellen sind, oder du rätst eine Nullstelle und führst eine Polynomdivision durch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.02.2007, 13:47

Monstar

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also doch raten und ich dachte du hättest das irgendwie gesehen ^^ naja ok danke

25.02.2007, 13:48

sqrt4

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Natürlich hab ich das sofort gesehen Big Laugh

Big Laugh

.

Das andere war ja nur eine Anleitung für euch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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