Grenzwert bestimmen - l'Hospital

16.05.2013, 20:06

sevenelf

Grenzwert bestimmen - l'Hospital

Hallo,

ich habe bei den beiden folgenden Aufgaben Probleme, den Grenzwert zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{lnx}+\frac{1}{x-1}\right)<br /> <br /> \lim_{x \to +0} \left(2\tan(3x) + \cos(x)\right)^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Bei beiden Aufgaben komme ich immer jeweils auf den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{0} \end{eqnarray*}$ .

Somit kann ich nicht mehr l'Hospital anwenden.

Ich hoffe mir kann jemand verraten, wie ich beide Grenzwerte doch berechnen kann. verwirrt

16.05.2013, 20:12

grosserloewe

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RE: Grenzwert bestimmen - l'Hospital
Wink

Zu 1)

Bilde den Hauptnenner , jetzt kannst Du L`Hospital anwenden

Zu2)

Du hast einen Ausdruck

$\begin{eqnarray*} 1^{\infty } \end{eqnarray*}$

gehe zur e Funktion über , danach geht auch L` Hospital

16.05.2013, 20:41

sevenelf

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Danke für deine schnelle Antwort. Freude

Das habe ich bereits gemacht: Wende ich allerdings nun l'Hospital an, habe ich dann nach dem Ableiten einen Bruch von 2/0.

Auch die zweite Aufgabe habe ich bereits auf die e-Funktion umgewandelt und mehrmals l'Hospital benutzt, doch ich komme immer wieder auf das gleiche Ergebnis: 2/0. traurig

16.05.2013, 21:10

grosserloewe

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die Rechnung ist "schön"

ich habe

Tanzen

zu a)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{0} =\infty \end{eqnarray*}$

Ergänzung, hiermit meine ich das kein Grenzwert existiert .

Zub)

$\begin{eqnarray*} e^{6} \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 21:18

sevenelf

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2/0 = unendlich? geschockt

und wie kommst du auf e^6? verwirrt

16.05.2013, 22:14

grosserloewe

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zub)

nach einmaliger Ableitung für L`Hospital erhält man :

im Zähler:

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{cos^{2}(3x) } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -sin(x) \end{eqnarray*}$

und im Nenner:

$\begin{eqnarray*} 2 tan(3x) +cos(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es nach den Grenzwertsätzen so, das man das getrennt betrachten kann, das bedeutet:

im Zähler 2 und im Nenner 2 Grenzwerte

ich erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{6*1 -0}{1+2*0} = 6 \end{eqnarray*}$

da ja das Ganze ja e hoch war , lautet das Ergebnis

$\begin{eqnarray*} e^{6} \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 22:26

klapka17

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kurz ne frage:
wie formst Du bei b) den Ausruck um, so dass du einen Bruch hast und die Bedingungen für L'Hopital erfüllt sind?

16.05.2013, 22:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von sevenelf
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{lnx}+\frac{1}{x-1}\right) \end{eqnarray*}$

Geht es nicht eher um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right) = \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Klingt irgendwie interessanter. Augenzwinkern

16.05.2013, 22:31

grosserloewe

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@HAL : es geht um Beides , bei a denke ich kommt unendlich raus , jetzt machen wir erstmal b smile

Fall b)

schauh mal:
dadurch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} \frac{ln(2 tan(3x) +cos(x)}{x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 0/0 \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 22:37

klapka17

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Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

@HAL : es geht um Beides , bei a denke ich kommt unendlich raus , jetzt machen wir erstmal b smile

Fall b)

schauh mal:
dadurch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to +0} \frac{ln(2 tan(3x) +cos(x)}{x} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} 0/0 \end{eqnarray*}$

aber steht da nicht: hoch (1/x), also x-te Wurzel von.... ?

16.05.2013, 22:40

grosserloewe

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@Klapka 17

Diese Zeile war nur ein Zwischenergebnis.

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