beschränktes Wachstum

16.05.2013, 21:39

zewa-softis

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beschränktes Wachstum

Hallo!
Ich bräuchte wieder mal eure Hilfe bitte
und zwar ich hab gegeben B(0) und B´(t)
und ich soll die diffglg lösen

allg $\begin{eqnarray*} B(t) = S - (S-B(0))*e^{-kt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B'(t) = k*(S-B(t)) \end{eqnarray*}$

geg.: $\begin{eqnarray*} B(0) = 400 und (dB)/(dt) =0,04*(900-B) \end{eqnarray*}$

dann kann ich gleichsetzen: $\begin{eqnarray*} B´(t) = (dB)/(dt) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k*(S-B(t)) = 0,04*(900-B) \end{eqnarray*}$
dann setz ich für B(t) und B(0) ein und rechne einiges zusammen und erhalte

$\begin{eqnarray*} k*(S - 400)*e^{-kt} = 36 - 0.04*(S - (S-400)*e^{-kt}) \end{eqnarray*}$

Und wie erhalte ich nun k und S ?

LG

P.S. Ich glaub, ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.

16.05.2013, 22:04

Kasen75

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Hallo,

so wie es aussieht, sollst du erstmal die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} (dB)/(dt) =0,04*(900-B) \end{eqnarray*}$ lösen.

Der erste Schritt ist hier die Trennung der Variablen.

Damit erhälst du letztendlich dann auch K und S.

Grüße.

17.05.2013, 08:25

zewa-softis

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und wie meinst du das mit der Trennung der Variablen?
traurig

traurig

17.05.2013, 11:19

Kasen75

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Erklärung und Beispiel findest du z.B. hier.

17.05.2013, 12:07

zewa-softis

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Vielen Dank, wirklich toll zusammengefasst.

Trotzdem stellen sich Fragen für mich verwirrt

verwirrt

und zwar
muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} (dB) / (dt) \end{eqnarray*}$ auf die Form $\begin{eqnarray*} f(s)*g(k) \end{eqnarray*}$ bringen?

17.05.2013, 12:12

Kasen75

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Nein. Versuch erstmal die Differentiale dB und dt zu trennen. Somit dt auf die rechte Seite.

$\begin{eqnarray*} (dB)/(dt) =0,04*(900-B) \end{eqnarray*}$

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17.05.2013, 12:34

zewa-softis

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ok
das wäre dann
$\begin{eqnarray*} dB = (0.04*(900-B)) * dt \end{eqnarray*}$

oder muss ich für B doch einsetzen?

17.05.2013, 12:40

Kasen75

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Zitat:

oder muss ich für B doch einsetzen?

Erstmal nichts einsetzen. Sondern die Differentialgleichung lösen.

Jetzt muss noch die Variable B auf die linke Seite. Da sie multiplikativ mit dt verbunden ist, geht das nur, indem man die Gleichung durch einen Faktor teilt. Auf der rechten Seite hast du 3 Faktoren. Durch einen dieser Faktoren musst du jetzt die Gleichung teilen, um die Variable B auf die linke Seite zu bekommen.

17.05.2013, 12:47

zewa-softis

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ok, nichts einsetzen.

das wäre dann $\begin{eqnarray*} (dB/B) = (0,04*900-0,04)*dt \end{eqnarray*}$

dann fällt mein B ja weg

17.05.2013, 12:54

Kasen75

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Du hast hier keinen Faktor auf die linke Seite gebracht.
Identifiziere bitte die drei Faktoren der rechten Seite.

$\begin{eqnarray*} dB = 0.04*(900-B) * dt \end{eqnarray*}$
Ich habe hier die eine überflüssige Klammer entfernt.

Zitat:

dann fällt mein B ja weg

B wandert dann nur von der rechten Seite zu linken Seite. Fällt somit nicht weg.

17.05.2013, 13:25

zewa-softis

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Fakot 1 = 0.04
fFaktor 2 = (900-B)
Faktor 3 = dt

Soll ich den ganzen 2.Facktor auf die andere Seite bringen ?
dann würde hier stehen

$\begin{eqnarray*} (dB)/((900-B) = 0.04 dt \end{eqnarray*}$

17.05.2013, 13:36

Kasen75

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Genau so habe ich es gemeint. Freude

Freude

Jetzt kannst du auf beiden Seiten integrieren.

linke Seite:
Prinzipiell ist $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{B} \, dx =ln|B|+c \end{eqnarray*}$ Da im hier Nenner $\begin{eqnarray*} (900-B) \end{eqnarray*}$ steht, muss noch eine kleine Anpassung vorgenommen werden.

rechte Seite: Hier wird nur eine Konstante nach t integriert.

17.05.2013, 13:45

zewa-softis

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ah
und dann steht hier

$\begin{eqnarray*} -ln(900-B) + c = 0,04 *t +c \end{eqnarray*}$

ok was passiert nun mit den Konstanten c ? die sind auf beiden seiten eigentlich nicht gleich groß oder?

17.05.2013, 13:56

Kasen75

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Sieht gut aus.

Prinzipiell sind es unterschiedliche Kontanten. Mann (oder Frau) kann sie dann aber auf der rechten Seite zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} -ln(900-B) + c_1 = 0,04 *t +c_2 \ \ \ | \ -c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln(900-B) = 0,04 *t +c_2 -c_1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man sagen, dass $\begin{eqnarray*} c_2-c_1 = C \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} -ln(900-B) = 0,04 *t +C \end{eqnarray*}$

Das geht deswegen, weil die Konstanten unbestimmt sind.

Nun die Gleichung mit (-1) multiplizieren. Danach beide Seiten als Exponenten zur Basis e schreiben. Wobei die linke Seite sich dann leicht vereinfachen lässt.

17.05.2013, 14:11

zewa-softis

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ok wenn ich mich jetzt nicht vertan habe steht dann da

$\begin{eqnarray*} 900 - B = e^{-0.04t} - e^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = 900 - e^{-0.04t} + e^c \end{eqnarray*}$

kann daher jetzt sagen dass k = 0,04 ist?

aber was ist mit S und diesem C hier?

17.05.2013, 14:28

Kasen75

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Stimmt fast.

Einen Schritt vorher hattest du das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} 900 - B = e^{-0.04t-c} \end{eqnarray*}$

Das ergibt dann aber:

$\begin{eqnarray*} 900-B=e^{-0.04t} \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Bedingung B(0) = 400 verwenden um die Konstante $\begin{eqnarray*} e^{-c} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Man setzt für t=0 ein.

$\begin{eqnarray*} 900-B(0)=e^{-0.04\cdot 0} \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 900-B(0)=e^{ 0} \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

Es ist klar was $\begin{eqnarray*} e^0 \end{eqnarray*}$ ergibt. Damit hat man dann den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} e^{-c} \end{eqnarray*}$ .

Den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} e^{-c} \end{eqnarray*}$ kann man dann hier $\begin{eqnarray*} 900-B=e^{-0.04t} \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$ einsetzen und nach B auflösen.

17.05.2013, 14:52

zewa-softis

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Wieso darf ich hier B = B(0) setzen ? Ich habe gedacht B = B(t)

wenn ich die Gleichung nun auflöse, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} c = - ln(500) \end{eqnarray*}$

und dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} B = 900 - e^{-0,04t}*e^{ln(5009} \end{eqnarray*}$

irgendwie passt das glaub ich nicht
traurig

traurig

17.05.2013, 15:13

Kasen75

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B ist auch B(t). Wenn aber t=0 ist, dann ist B=B(0).

Wie du auf die 500 kommst ist mir schleierhaft. Ich mache mal an der Stelle weiter, wo wir gerade waren.

$\begin{eqnarray*} 900-B(0)=e^{ 0} \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 900-B(0)=1 \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} e^{-c}=900-B(0) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in die Gleichung $\begin{eqnarray*} 900-B=e^{-0.04t} \cdot e^{-c} \end{eqnarray*}$ ergibt:

$\begin{eqnarray*} 900-B=e^{-0.04t} \cdot (900-B(0)) \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung nach B [=B(t)] auflösen und dann mit $\begin{eqnarray*} B(t) = S - (S-B(0))*e^{-kt} \end{eqnarray*}$ vergleichen.

Dann weißt du auch was S ist.

17.05.2013, 15:31

zewa-softis

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ich habe für B(0) = 400 eingesetzt , da ich dies meine Angabe war. Aber so schaut das sehr schön und eigentlich auch einfach aus.

und S ist nun 900

Vielen Dank für Deine Hiulfe und deine Geduld!
Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

Gott

vielen Dank

17.05.2013, 15:33

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat. smile

smile

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