Integral der "Halbkreisfunkion"

30.07.2004, 02:58

Mathespezialschüler

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Integral der "Halbkreisfunkion"

Hi, ich hab mir jetzt Integralrechnung beigebracht. Jetzt hab ich ein Problem mit einer Integration:

Gesucht ist bzw. ich brauchte:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich hab in einer Formelsammlung gefunden:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1-x^2}~dx = \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x) + C \end{eqnarray*}$

Durch Probieren mit Differenzieren hab ich dann gefunden:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{a^2-x^2}~dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C = \frac{xa}{2}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{eqnarray*}$

Kann ich das auch ohne "Probieren" finden?? Also über Integrationsmethoden o.Ä.??? Ich seh weder eine Substitutionsmöglichkeit noch eine Möglichkeit, es über Partielle Integration geschweige denn Partialbruchzerlegung zu machen.

Wäre für einen Tipp sehr dankbar.

30.07.2004, 09:01

Leopold

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Zum einen ist Probieren eine erlaubte Methode. Viele wichtige Erkenntnisse der Mathematik (ich hätte sogar die Kühnheit zu behaupten: fast alle) wurden und werden durch "Probieren" gefunden (wie kann es anders sein? man kennt ja die Lösung gerade noch nicht). Die unanfechtbaren Beweise werden dann nachgeliefert. Nur an der Schule entsteht der falsche Eindruck, Mathematik sei eine Anwendung fertiger Regeln. Aber das ist dann keine eigentliche Mathematik, sondern Rechnen.
Zum andern hast du in deiner Umformung die Idee schon geliefert:
Wurzel(a²-x²) = a·Wurzel(1-(x/a)²) (mit a>0)
Jetzt muß man nur noch die Substitutionsregel anwenden: t=x/a, dt=dx/a
Aber eigentlich ist das ein viel zu schweres Geschütz (es ist ja der einfachste Fall einer Substitution, nämlich eine lineare). Wenn du es direkt durch Probieren gefunden hast, ist es besser. (Ich glaube übrigens, daß du dich ganz zum Schluß verrechnet hast. Gehe deine letzte Umformung noch einmal durch.)

30.07.2004, 09:17

Mazze

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Substitution von integralen ist vom schwierigkeitsgrad her bei weitem nicht mit der Substitution die man in etwa bei Polynomen verwendet zu vergleichen. Dafür braucht man schon bissel Erfahrung, partielle integration dagegen ist schon etwas einfacher. Um geschickter mit der Substitution zu werden sollte man vieeeeeeeele Beispiele rechnen natürlich möglichst selbst lösen.

Zu dem Probieren

Sobald ich eine Stammfunktion durch probieren angeben kann tu ich das, weil das den Arbeitsaufwand sehr vereinfacht. Du kannst natürlich
in etwa ein integral wie das hier

$\begin{eqnarray*} \int~1*cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

partiell Integrieren , in dem Du Stammfunktion vom cosinus angibst und dann 1 ableitest ist aber totaler schwachsinn. Ich will damit nur sagen das man nicht unbedingt auf die gängigen Verfahren bestehen sollte wenn mans sich auch einfachermachen kann (auch wenn bei deinem Beispiel ja ne Stammfunktion garnicht so einfach mehr zu ermitteln ist)
Wie leopold schon gesagt hat, Erkenntnisse in einer Wissenschaft werden durch Zufall oder Probieren gefunden. Newton wird die Inhalte seiner Principia sicherlich nicht alle korrekt hergeleitet haben als er sie entdeckte. Vielmehr tat er das dann in eben diesem Werk. Wenn ich einen Algorithmus schreibe verifiziere ich ihn auch nicht vorher, sondern probier bissel (natürlich schon etwas strukurierter weil ich in etwa weiß was gefordert ist) und Beweise hinterher das er funktioniert!

30.07.2004, 15:48

Mathespezialschüler

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Ok, danke! Mir is klar, dass das mit probieren auch am einfachsten ist. Ich habs auch immer so gemacht, wenn ich konnte. Nur das Problem war hier eigentlich: Ohne diese Stammfunktion aus der Formelsammlung hätt ichs nich geschafft, das wollte ich aber, d.h. die Probierenmethode wäre für mich erst dann "korrekt" gewesen, wenn ich vorher

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1-x^2}~dx = \frac{x}{2}\sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2}\arcsin(x) + C \end{eqnarray*}$

selbst gefunden hätte. Aber egal, ihr habt schon Recht.

@Leopold
Danke für die Substitutionsmethode! Da bräucht ich dann wie oben beschrieben aber auch noch das spezielle mit a=1. Ich habs ähnlich versucht, nur hab ich leider nen kleinen Denkfehler eingebaut. Ich wollte $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} = t \end{eqnarray*}$ substituieren. Da kamm mir dann für dt aber die Produktregel in die Quere, bin leider nich darauf gekommen, das so zu substituieren.

Den Fehler hab ich gefunden, werd ich gleich berichtigen, danke!

Zitat:

Original von Leopold

Nur an der Schule entsteht der falsche Eindruck, Mathematik sei eine Anwendung fertiger Regeln. Aber das ist dann keine eigentliche Mathematik, sondern Rechnen.

Genau das sag ich auch immer, nerv sogar meine Familie schon damit, dass ich sage, dies oder jenes sei Numerik. Ich hab z.B. gesagt, alles, was man in der Grundschule in dem sogenannten Fach "Mathematik" macht, is keine Mathematik, sondern Numerik und stures Rechnen sowie Zahlentheorie (bis auf Geometrie). Aber ich denke für alle, die Mathematik nich so interessiert, ist es so wie in der Schule doch am besten.

@Mazze
Das musste ich auch schon feststellen. Partielle Integration find ich ziemlich einfach. Wenn ich hier vielleicht ein bisschen mehr überlegt hätte, wäre ich vielleicht auch auf die Substitution gekommen, aber ich werd ja sehen, wie viel Erfahrung ich brauch.
Übrigens wenn ich so viel üben sollte, ich wüsste nich, wo ich die Aufgaben hernehmen sollte. :P

Also trotzdem vielen Dank für die Antworten.

30.07.2004, 16:16

Philipp-ER

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Hi.
Du kannst die Stammfunktion für a=1 selbst finden, indem du entweder
x=sin(t) substituierst oder $\begin{eqnarray*} 1\cdot\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ partiell integrierst, nämlich mit u'(x)=1 und $\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Gruß
Philipp

30.07.2004, 16:35

Mazze

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also wenn Du Aufgaben suchst, ich kann Dir einige geben, hab aber nicht alle Lösungen , da Du ja eh daran interessiert bist das selbst zu machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

kein problem denke ich, ausserdem gibs hier genug die mehr davon verstehen als ich

unsere beiden Klausurintegrale aus Mafi I

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}~x^2*e^{-x}~dx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{(arctan(x))^2}{1+x^2}*e^{-arctan(x)}~dx \end{eqnarray*}$

Hier ein Paar Integrale aus alten übungsblättern

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}~cos(3x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~cos(x)*e^x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~sin(x)*e^x~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-ln(2)}^{-ln(4)}~\frac{e^x*cos(\pi*e^x)}{(sin(\pi*e^x))^3}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2}~x*\sqrt{x^2-1}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\sqrt{3}}~\frac{x^3 + 2x}{\sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Da sind jetzt vieleicht einige sehr schwierige bei aber da Du die Substitution trainieren willst werde ich erstmal nicht die Hinweise die gegeben wurden hinschreiben. Viel spaß Augenzwinkern

Augenzwinkern

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30.07.2004, 17:07

Mathespezialschüler

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@Philipp-ER

Danke, wär ich nich drauf gekommen. Ich glaub, ich hab unterschätzt, wieviel Erfahrung man wirklich braucht. geschockt

geschockt

@Mazze
Danke für die Aufgaben! Bis auf die arctan-Aufgabe hab ich die ersten 5 schon raus. Aber die arctan sieht ja so ein bisschen nach doppelter Kettenregel aus. Muss ich mir gleich nochmal angucken.

30.07.2004, 17:09

Mazze

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die arctan ist eine wunderschöne Substitutionsaufgabe smile

smile

30.07.2004, 22:29

Trazom

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Wer mal ne echt harte Nuss knacken will:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{\frac{x}{1+x}}~dx \end{eqnarray*}$

Hab ich zwei Tage für gebraucht und die Substituion ist absolut oberkrank, viel Erfolg

30.07.2004, 22:53

Mathespezialschüler

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Ok, die arctan hab ich jetz auch raus. War aber noch relativ einfach. Man sieht ja sofort die Kettenregel für die e-Funktion und über partielle Integration gehts ja dann wie bei der Aufgabe davor.

@Trazom
Muss ich mir gleich mal angucken.

30.07.2004, 23:09

Trazom

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Mach lieber zuerst die da oben, die sind zum Substitutieren ideal zur Übung. Danach kann man sich an die fiesen Teile machen.

31.07.2004, 00:07

Mathespezialschüler

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Ok, hab ich gemacht. Die letzten drei sind noch offen, ich hab mit dem letzten angefangen, hab aber kleine Probleme:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^3 + 2x}{\sqrt{x^2+1}}~dx = \int~\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}~dx + \int~\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Ich hab dann mit dem rechten angefangen, das ging noch gut:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} x^2 + 1 = u\ ;\ \ \ \ \ du = 2x\ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}~dx = \int~\frac{du}{\sqrt{u}} = 2\sqrt{u} = 2\sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

So und dann das linke, da komm ich nich so weiter ... , obwohl jetz seh ich grad ne partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^3}{\sqrt{x^2+1}}~dx = \int~x^2\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}~dx = x^2\cdot \sqrt{x^2+1} - \int~2x\cdot \sqrt{x^2+1}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} x^2 + 1 = z\ ;\ \ \ \ \ dz = 2x\ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2\cdot \sqrt{x^2+1} - \int~2x\cdot \sqrt{x^2+1}~dx = x^2\cdot \sqrt{x^2+1} - \int~\sqrt{z}~dz = x^2\cdot \sqrt{x^2+1} - \frac{2}{3}\sqrt{z^3} = x^2\cdot \sqrt{x^2+1} - \frac{2}{3}\sqrt{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

und insgesamt:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^3 + 2x}{\sqrt{x^2+1}}~dx = x^2\cdot \sqrt{x^2+1} - \frac{2}{3}\sqrt{(x^2+1)^3} + 2\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2+1}\cdot (x^2 -\frac{2}{3}x^2 - \frac{2}{3} + 2) = \sqrt{x^2+1}\cdot \frac{x^2+4}{3} \end{eqnarray*}$

Also doch geschafft, ich war schon fast am verzweifeln für den linken Summanden.

31.07.2004, 00:22

Mazze

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also ich steck zur Zeit nicht so in den Integralen drin , und mir is jetzt auch ehrlich gesagt zu spät. Im hinweis steht

substitution mit $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x^2 +1} \end{eqnarray*}$ . Probiers auch damit , ist ja fast das was Du getan hast (fast ^^).

31.07.2004, 00:27

Leopold

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Und wie wär's damit?

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3+2x}{\sqrt{x^2+1}} \ = \ \frac{1}{2} \cdot 2x \ \left(\sqrt{x^2+1}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right) \end{eqnarray*}$

Da braucht man dann nur einmal u=x²+1 substituieren.

31.07.2004, 00:39

Mathespezialschüler

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Damit gehts auch, nur leider (für mich) viel leichter. Wenn du nich richtig drinsteckst, dann

@all
Aber wie kommt man auf so eine Substitution?? Bis jetz hab ich immer nur folgende Substitution durchgeführt:
$\begin{eqnarray*} \int~f(g(x))\cdot g'(x)~dx = \int~f(u)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = u \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du = g'(x)\ dx \end{eqnarray*}$

Hier ist aber kein Faktor g'(x) zu sehen, wenn ich $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{x^2 +1} \end{eqnarray*}$ substituiere. verwirrt

verwirrt

edit: Hab jetz alle Aufgaben von Mazze fertig! Danke Mazze, waren gute Aufgaben! Da ich die drittletzte so schön, wenn auch nich unbedingt sehr schwer, finde, möcht ich sie hier lösen:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{e^x\cdot cos(\pi\cdot e^x)}{(sin(\pi\cdot e^x))^3}~dx \end{eqnarray*}$

1. Substitution:
$\begin{eqnarray*} \pi\cdot e^x = u\ \ \ \Rightarrow\ \frac{1}{\pi}\ du = e^x\ dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{e^x\cdot cos(\pi\cdot e^x)}{(sin(\pi\cdot e^x))^3}~dx = \int~\frac{cos(u)}{\pi (sin(u))^3}~du \end{eqnarray*}$

2. Substitution:
$\begin{eqnarray*} sin(u) = z\ \ \ \Rightarrow\ dz = cos(u)\ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{cos(u)}{\pi (sin(u))^3}~du = \int~\frac{1}{\pi z^3}~dz = -\frac{1}{2\pi z^2} + C \end{eqnarray*}$

2mal resubstituieren:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2\pi z^2} + C = -\frac{1}{2\pi (sin(u))^2} + C = -\frac{1}{2\pi (sin(\pi\cdot e^x))^2} + C \end{eqnarray*}$

Fertig. Wer will, kann durch Ableiten überprüfen!

@Trazom

Zitat:

Original von Trazom
Mach lieber zuerst die da oben, die sind zum Substitutieren ideal zur Übung. Danach kann man sich an die fiesen Teile machen.

Na dann kann ich ja anfangen *g*. Was heißt denn bei dir "oberkrank"?? Was kann man denn da bitte kompliziertes substiuieren bzw. was kann man da überhaupt substituieren *g*

31.07.2004, 12:28

Mazze

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hehe du kannst auch mit $\begin{eqnarray*} y = sin(\pi*e^x) \end{eqnarray*}$ substituieren dann steht da

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{e^x\cdot cos(\pi\cdot e^x)}{(sin(\pi\cdot e^x))^3}~dx = \int~\frac{(y)'}{\pi*y^3}~dy \end{eqnarray*}$

zu der tan aufgabe

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{(arctan(x))^2}{1+x^2}*e^{-arctan(x)}~dx = \int_{0}^{1}~(arctan(x))^2*\frac{1}{1+x^2}*e^{-arctan(x)}~dx \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~(arctan(x))^2*(arctan(x))'*e^{-arctan(x)}~dx \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ob Du es so gemacht hast, aber die Substitution ist jetzt eindeutig

31.07.2004, 13:46

Mathespezialschüler

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Ja, als ich zwei Substitutionen hatte, hab ich auch gesehen, dass ich auch eine draus machen könnte, aber ich fand die doppelte so schön *g*.

Die arctan hab ich so gemacht. Dann hat man ja noch -u²e^u und das geht dann wie das erste. Die von trazom is aber wirklich nich so einfach, auch wenn ich "erst" ne halbe Stunde dran sitze.

31.07.2004, 14:56

Trazom

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Trazom

Zitat:

Original von Trazom
Mach lieber zuerst die da oben, die sind zum Substitutieren ideal zur Übung. Danach kann man sich an die fiesen Teile machen.

Na dann kann ich ja anfangen *g*. Was heißt denn bei dir "oberkrank"?? Was kann man denn da bitte kompliziertes substiuieren bzw. was kann man da überhaupt substituieren *g*

Man kann nicht nur komplizierte Ausdrücke durch einfache ersetzen, sondern auch umgekehrt, mann muss dann nur mit dem dx und du aufpassen.

31.07.2004, 17:38

Mathespezialschüler

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@Trazom
Das hab ich auch schonmal gemacht. Mit dx und du, geht das dann so, dass, wenn ich substituiere?? :

$\begin{eqnarray*} g(x) = u, x = g^{-1}(u), dx = (g^{-1})'(u) du \end{eqnarray*}$

So hab ichs bis jetz immer gemacht. Problem dabei: $\begin{eqnarray*} g^{-1}(u) \end{eqnarray*}$ muss nich unbedingt eine Funktion sein. Was mach ich dann?

Und dann hab ich jetz das Integral von Trazom geschafft. So einfach wars wirklich nich. Aber bevor ich meine Lösung zeige, möcht ich nochmal wissen, wie ich folgendes Integral finde, weil ich es dafür brauchte und wieder nur aus einer Formelsammlung entnehmen konnte:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Als Lösung steht da:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C \end{eqnarray*}$

Ich habs mit partieller Integration versucht:

$\begin{eqnarray*} \int~1\cdot \sqrt{1+x^2}~dx = x\sqrt{1+x^2} - \int~x\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}~dx = x\sqrt{1+x^2} - \int~\frac{x^2+1-1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x\sqrt{1+x^2} - \int~\sqrt{1+x^2}~dx + \int~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \ \ \ \ |\ +\int~\sqrt{1+x^2}~dx\ \ \ |\ \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+x^2}~dx = \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}~dx \end{eqnarray*}$
Im Vergleich zu der angegebenen lösung sieht das ja schon ganz gut aus, nur die Integration von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$ will mir nicht gelingen. Kann mir jemand einen Tipp geben??

31.07.2004, 19:55

Anirahtak

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Mein Tipp: mit x+\sqrt{x^2+1} erweitern!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}} \end{eqnarray*}$

Alles klar?

Anirahtak

31.07.2004, 20:21

PSM

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{1+x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Als Lösung steht da:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2} + \frac{1}{2}ln(x + \sqrt{1+x^2}) + C \end{eqnarray*}$

Hallo!

Wink

Ist auch folgende Lösung für das angegebene Integral möglich?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(x*\sqrt{1+x^{2}}+arcsinh (x)) + C \end{eqnarray*}$

Diese Lösung habe ich mit dem Integrator gefunden (Link: http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi)

Solange ich die Integralrechnung (Substitutionen etc.) nicht beherrsche, muss ich mich auf den Integrator verlassen.

MfG
Patrick

31.07.2004, 20:36

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Differenzieren der gefundenen Stammfunktion ist immer eine gute Probe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2004, 20:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@Anirahtak

Super, danke!!!

@PSM

Ob diese Funktion eine Stammfunktion ist, kann ich dir nicht sagen, da ich nich weiß, was arcsinh ist. Das is schon n bisschen höher! Deswegen bezweifle ich auch, dass du das weißt (sorry, wenn ich falsch liege).

31.07.2004, 21:05

BraiNFrosT

Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz falsch liegt er da nicht :

$\begin{eqnarray*} f(x) = arsinh (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$

31.07.2004, 21:11

Passant

Auf diesen Beitrag antworten »

Zusammenhang zwischen arsinh und ln:

arsinh(x) = ln[x+sqrt(x²+1)]

31.07.2004, 21:14

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

@passant:

Möchtest du dich nicht einmal registrieren. smile

smile

31.07.2004, 22:10

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

@grybl
Das hab ich ihm/ihr auch schon gesagt. :P

@Trazom & @all
Ok, jetzt meine Lösung für das Integral von Trazom:

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{\frac{x}{x+1}}~dx = \int~\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Substitution: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = u\ \ \Rightarrow\ \ x = u^2\ \ \Rightarrow\ \ dx = 2u\ du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}~dx = \int~\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\cdot 2u~du \end{eqnarray*}$

Partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\cdot 2u~du = 2u\sqrt{u^2+1} - 2\int~\sqrt{u^2+1}~du \end{eqnarray*}$

Jetzt das rechte Integral mithilfe von partieller Integration und Anirahtaks Tipp finden:

$\begin{eqnarray*} \int~1\cdot \sqrt{1+u^2}~dx = u\sqrt{1+u^2} - \int~u\cdot \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}~du = u\sqrt{1+u^2} - \int~\frac{u^2+1-1}{\sqrt{1+u^2}}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = u\sqrt{1+u^2} - \int~\sqrt{1+u^2}~du + \int~\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}~du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}~du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{u^2+1}+u}{\sqrt{u^2+1}+u}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{\frac{\sqrt{u^2+1}+u}{\sqrt{u^2+1}}}{\sqrt{u^2+1}+u}~du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1+\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}}{u+\sqrt{u^2+1}}~du \end{eqnarray*}$

Substitution:
$\begin{eqnarray*} u+\sqrt{u^2+1} = z\ \ \Rightarrow\ \ dz = 1+\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1+\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}}{u+\sqrt{u^2+1}}~du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot \int~\frac{1}{z}~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot ln(z) = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot ln(u+\sqrt{u^2+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\cdot 2u~du = 2u\sqrt{u^2+1} - 2\cdot (\frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\cdot ln(u+\sqrt{u^2+1})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{\frac{x}{x+1}}~dx = 2u\sqrt{u^2+1} - u\sqrt{1+u^2} - ln(u+\sqrt{u^2+1}) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2\sqrt{x}\sqrt{1+x} - \sqrt{x}\sqrt{1+x} - ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}) + C = \sqrt{x\cdot (1+x)} - ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}) + C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int~\sqrt{\frac{x}{x+1}}~dx = \sqrt{x\cdot (1+x)} - ln(\sqrt{x}+\sqrt{1+x}) + C \end{eqnarray*}$

So, war jetz natürlich viel Schreibarbeit. Buschmann

Buschmann

@Trazom
Hast du die gleiche Substitution verwendet oder hast du direkt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} + \sqrt{x+1} = z \end{eqnarray*}$

substituiert?? (Ich weiß nich mal, obs geht, schau ich mir gleich mal an)
edit: Geht wohl doch nich mMn.

31.07.2004, 22:26

Anirahtak

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo MSS,

es gilt übrigens:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}~dx=\ln(f(x)) \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dir die eine Substitution sparen.

Gruß
Anirahtak

31.07.2004, 22:37

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, danke. Weiß ich aber schon, das hat man ja auch nur aus der Substitution hergeleitet. Da das aber hier zwei relativ große Terme waren, habe ich die Substitution durchgeführt, damit es auch alle sehen.
Trotzdem danke für den Tipp!

31.07.2004, 22:42

Anirahtak

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Welch edler Gedanke... :]

01.08.2004, 08:27

grybl

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

Zitat:

Orginal von grybl
@passant:

Möchtest du dich nicht einmal registrieren.

Zitat:

Orginal von Mathespezialschüler
@grybl
Das hab ich ihm/ihr auch schon gesagt.

Ich weiß :P. Aber Passant hat nicht reagiert. Und doppelt hält vielleicht besser. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.08.2004, 10:50

Trazom

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mathespezialschüler

@Trazom & @all
Ok, jetzt meine Lösung für das Integral von Trazom:

Ich habe ersetzt:

$\begin{eqnarray*} x = sinh²(x) \end{eqnarray*}$

Dann kürzt sich nämlich einiges nach folgender Identität:

$\begin{eqnarray*} 1+sinh²(x)=cosh²(x) \end{eqnarray*}$

01.08.2004, 12:39

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, leider kenn ich sinh noch nicht. Deswegen musste ich den komplizierteren Weg gehen. Is ja gemein! Du hattest ja dann "nur noch" den Ausdruck sinh/cosh * Ableitung zu integrieren. Ich musste da ewig lang noch ein anderes Integral finden. traurig

traurig

Ist sinh und cosh eigentich Schulstoff??

01.08.2004, 13:02

Philipp-ER

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi MSS.
Naja, es gilt doch einfach
$\begin{eqnarray*} \sinh(x):=\frac{\exp(x)-\exp(-x)}{2} \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} \cosh(x):=\frac{\exp(x)+\exp(-x)}{2} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt sofort
$\begin{eqnarray*} \cosh(x)^2-\sinh(x)^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\cosh(x))'=\sinh(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sinh(x))'=\cosh(x) \end{eqnarray*}$
Ich denke, das ist alles, was du hier brauchst.

01.08.2004, 13:44

Mathespezialschüler

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Danke, Philipp!
Habs probiert. Ist es erstmal richtig, dass ich auf $\begin{eqnarray*} 2\int~(sinh(u))^2~du \end{eqnarray*}$ komme, wenn ich $\begin{eqnarray*} x = sinh(u) \end{eqnarray*}$ substituiere?? Wenn ich das mit der Lösung unten vergleiche, scheint mir das, als wäre es falsch.

Nochmal die Frage: Sind sinh und cosh eigentlich Schulstoff??

@Trazom
Du bekommst dann aber ein "anderes" Ergebnis als ich oder?? Vielleicht sowas wie das hier:

Zitat:

Original von PSM
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(x*\sqrt{1+x^{2}}+arcsinh (x)) + C \end{eqnarray*}$

01.08.2004, 16:01

Philipp-ER

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Ich denke nicht, dass Substitution der schnellste Weg ist, dieses Integral zu lösen.
Verwende vielmehr den gleichen "Trick" wie bei
$\begin{eqnarray*} \int \sin(x)^2 dx \end{eqnarray*}$

Übrigens heißt die Umkehrfunktion des sinh nicht arcsinh sondern arsinh, von area sinus hyperbolicus.

Normalerweise spricht man diese Funktionen, soweit ich weiß, in der Schule nicht an, aber natürlich könnte jeder Schüler ihre Definition verstehen und sich dann auch dazu Gedanken machen, vielleicht führt sie auch der ein oder andere Lehrer ein.
Sie lassen sich übrigens auch geometrisch an der Hyperbel interpretieren (deshalb auch der Name hyperbolicus) und sind für diese so etwas wie sin und cos für den Kreis.
Das dürfte man in der Schule normalerweise nicht machen.

01.08.2004, 16:54

Mathespezialschüler

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Versteh ich jetz nich ganz. verwirrt

verwirrt

Wir haben das Integral

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}~dx \end{eqnarray*}$

zu lösen. Trazom hat substituiert:

$\begin{eqnarray*} x = (sinh(u))^2\ \ \Rightarrow\ 1 + x = (cosh(u))^2\ ;\ \ dx = 2sinh(u)cosh(u)~du \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}~dx = \int~\frac{sinh(u)}{cosh(u)}\cdot 2sinh(u)cosh(u)~du = 2\int~(sinh(u))^2~du \end{eqnarray*}$

So und diese Substitution soll jetz nich der schnellste Weg sein? Vielleicht hast du falsch verstanden, was ich oben geschreiben hab!?
Ich wollt jetz partielle integration durchführen:

$\begin{eqnarray*} 2\int~(sinh(u))^2~du = 2sinh(u)cosh(u) - 2\int~(cosh(u))^2~du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2sinh(u)cosh(u) - 2\int~(1+(sinh(u))^2)~du = sinh(u)cosh(u) - u = \sqrt{x(x+1)} - arsinh(\sqrt{x}) + C \end{eqnarray*}$

Was hab ich denn falsch gemacht?? Denn wenn die Lösung von PSM richtig sein sollte, dann ist meine wohl falsch.

01.08.2004, 17:22

Philipp-ER

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Sorry, irgendwie habe ich etwas ganz anderes gelesen, als du tatsächlich geschrieben hast.
Ich habe eigentlich nur die mathematischen Ausdrücke gesehen und dann gedacht, du wolltest das Integral über sinh(x)^2 per Substitution sinh(x)=z lösen.

01.08.2004, 17:27

Mathespezialschüler

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Ist meine Lösung über die partielle Integration denn richtig??

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