SChätzer auf Erwartungstreue prüfen

24.02.2007, 16:22

brunsi

SChätzer auf Erwartungstreue prüfen

Sei $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,...X_n \end{eqnarray*}$ eine einfache Stichprobe aus X mit $\begin{eqnarray*} E(X)=\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(x)={\sigma}^2 \end{eqnarray*}$ .

Zur SChätzung von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ werden die folgenden SChätzer vorgeschlagen.

$\begin{eqnarray*} T_1=\overline{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_2=\frac{1}{2}(x_2+x_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_3=\frac{4}{3}\overline{X} \end{eqnarray*}$

Prüfen Sie die SChätzer auf Erwartungstreue:

Es handelt sich hier meiner Meinung nach um $\begin{eqnarray*} X~N(\mu,{\sigma}^2) \end{eqnarray*}$ , um eine Normalverteilte Stichprobe X.

Dann muss ich einfach nur zeigen, ob die drei SChätzer- eingesetzt in $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ den Paramter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ergeben. Richtig??

Also beispielsweise: $\begin{eqnarray*} E(T_1)=\mu \end{eqnarray*}$

Doch wie gehe ich dabei nun weiter vor??
Müsste doch die Verteilungsfunktion mit den Grenezn $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ integrieren??

Könnte mir dort jmd bei helfen??

24.02.2007, 18:28

yeti777

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: SChätzer auf Erwartungstreue prüfen
Hallo brunsi!

Meiner Meinung nach brauchst du die Annahme der Normalverteilung nicht. Schätzer 1, Mittelwert:

$\begin{eqnarray*} E(\overline X)= E(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~X_k )= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~E(X_k) = \frac{1}{n} \cdot n\cdot \mu= \mu\Rightarrow \text {erwartungstreu} \end{eqnarray*}$

Gruss yeti

24.02.2007, 19:54

Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall kann ich mich der Meinung von yeti777 nur anschließen. Augenzwinkern

Auf den zweiten Schätzer trifft das übrigens genauso zu.

24.02.2007, 20:41

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich meine eigentlich o bei der allgemeinen vorgehensweise.

da müsste ich doch zuerst eine verteilung finden bzw. unterstellen!!

Hier gehts ja wie ich sehe so.

Dann ist der 3.SChätzer nicht erwartungstreu?!!

GROßES EDIT: mir ist nur gerade unklar, wie yeti auf den Klammerausdruck kommt. Hast du/ er dort die Beziehung zur Fisher-Verteilung genutzt???

24.02.2007, 20:52

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man von "erwartungstreu" spricht, muss man dazu sagen, für welche Größe / Parameter erwartungstreu. Anschließend ist "nur" der Erwartungswert der Schätzgröße zu bestimmen und mit eben jenem Wert zu vergleichen.

Zitat:

Original von brunsi
Dann ist der 3.SChätzer nicht erwartungstreu?!!

Nun ja, für $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ ist er erwartungstreu, für alle anderen $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ allerdings nicht. Augenzwinkern

24.02.2007, 20:54

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

das macht Sinn. mal sehen, wie ich dann mit der nächsten aufgabe zurecht komme!!??!

danke @Arthur und yeti

edit: aber man müsste hier doch nur die allgemeinheit angeben und [latex}] mu=0[/latex] ausschließen dürfen. eben für das Gross der Parameter betrachten!!

24.02.2007, 21:01

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, im Grunde genommen ja. Deswegen ja das Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

SChätzer auf Erwartungstreue prüfen

Verwandte Themen