Fourierpolynom; Erzeugendensystem (2 kleine Fragen)

17.05.2013, 12:17

Trixi21

Fourierpolynom; Erzeugendensystem (2 kleine Fragen)

Guten Tag, liebe Mathematiker smile

.

Habe 2 Fragen und ich hoffe, dass mir jemand diese beantworten kann:

1. Woher kommt der erste Summand bei dem Fourierpolynom? Müsste da nicht a0 anstatt a0/2 stehen?

2. Was ist das Erzeugendensystem des 0 Vektorraums? Etwa die leere Menge? Wenn ja, wie kann man sich das klarmachen?

Danke :-)

17.05.2013, 12:51

lgrizu

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RE: 2 kleine Fragen
Fourierreihe:

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cdot \cos(k \omega t) + b_k \cdot \sin(k \omega t)) \end{eqnarray*}$

Zu deiner zweiten Frage:

Der Vektorraum, der nur den Nullvektor enthält hat die Dimension 0. Die Dimension ist die Anzahl der Basiselemente, wie viele Basiselemente hat also der Nullvektorraum?

17.05.2013, 13:06

Trixi21

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Hey, danke für die Antwort smile

zu 2) Da der Vektorraum die Dimension 0 hat, wird der gesamte Vektorraum durch 0 Vektorraum erzeugt. Also der leeren Menge, die keinen Vektor enthält.

zu 1)

Da beantwortet nicht so ganz meine Frage :/

Die Gleichung kenne ich ja, ich verstehe nur nicht, woher die

$\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2} \end{eqnarray*}$ herkommt.

Angenommen wir hätten das Summenzeichen so vorliegen, dass es von k=0 beginnt. Und würden dann den ersten Summanden abspalten, dann würden wir doch nur $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ erhalten und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2} \end{eqnarray*}$ , denn der Teil mit dem Sinus fällt weg und vorne würden wir a_0 * 1 erhalten.

17.05.2013, 13:16

Steffen Bühler

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Ich hab so eine Frage vor einiger Zeit mal so beantwortet:

Zitat:

Wenn man die Fourierreihe komplex darstellt, läuft der Index von minus bis plus unendlich. Je eine negative und eine positive Frequenz ergeben dann zusammen eine Sinus- bzw. Cosinusschwingung. Ich weiß noch, wie unser Dozent vorne seine Arme schwingen ließ, einen linksrum, einen rechtsrum.

Für die Frequenz Null paßt dann auch alles, im Komplexen muß nicht halbiert werden! Heißt dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wird die Formel nun trigonometrisch ausgedrückt, läßt man die negativen Frequenzen weg. Dies geht auch gut, solange man nicht zur Null kommt, da ist bildlich gesprochen der "negative" Partner nicht wegzukriegen und die Amplitude verdoppelt sich.

Dies war jetzt auch mal sehr unmathematisch ausgedrückt, aber mir hat diese Anschauungsweise damals sehr geholfen.

Viele Grüße
Steffen

17.05.2013, 22:02

Trixi21

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Hey , danke für die Antwort smile

,

Falls keiner eine andere Antwort auf meine Frage weiß, werde ich mich wohl damit zufrieden begeben müssen.
Allerdings wäre es mir schon lieber, wenn man das formaler begründen könnte.

Liebe Grüße smile

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