Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven

17.05.2013, 12:18

Un-aachen

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Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven

Meine Frage:
Hallo,
habe mal wieder meine Probleme mit den Beweisen -.-
Bitte um Hilfe smile

smile

Seien $\begin{eqnarray*} v,v_1,v_2: U-> \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Vektorfelder und $\begin{eqnarray*} \gamma,\gamma _1,\gamma _2: [a,b]->U \end{eqnarray*}$ stückweise stetig diffbare Kurven in U mit $\begin{eqnarray*} \gamma_1 (b)=\gamma _2(a) \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass dann die folgenden Aussagen gelten:

a) $\begin{eqnarray*} \int_\gamma \!(\lambda _1v_1+\lambda _2v_2) \, ds=\lambda _1\int_\gamma \!v_1\, ds+\lambda _2\int_\gamma \!v_2\, ds \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \!(\lambda _1v_1+\lambda _2v_2) \, ds=\int_\gamma \![\lambda _1v_1(\gamma (t))+\lambda_2v_2(\gamma (t))]\gamma`(t)\, dt<br /> =\lambda _1\int_\gamma \!v_1(\gamma (t))\gamma`(t)dt+\lambda_2\int_\gamma \!v_2(\gamma (t))\gamma`(t)dt<br /> =\lambda _1\int_\gamma \!v_1\, ds+\lambda _2\int_\gamma \!v_2\, ds \end{eqnarray*}$

?? Richtiger Weg??

17.05.2013, 12:36

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
zum anderen soll dies auch bewiesen werden :
$\begin{eqnarray*} ||\int_\gamma \! v \, ds\leq max_{x\in \gamma (a,b)}||v(x)||L_\gamma \end{eqnarray*}$

Nach der Riemann Integrierbarkeit gilt dann:

$\begin{eqnarray*} ||\int_\gamma \! v \, ds=||\int_\gamma \! v(\gamma (t))\gamma`(t) \, dt||\leq ||\int_\gamma \! v(\gamma (t))\gamma`(t) \,|| dt<br /> \leq max||v(x)||\int_\gamma \!\gamma`(t)\, dt=max_{x\in \gamma (a,b)}||v(x)||L_\gamma \end{eqnarray*}$

17.05.2013, 17:57

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Arbeite unbedingt an deinem Aufschrieb.
Du musst die Grenzen einsetzen, das Skalarprodukt kenntlich machen (oder macht ihr das in der Vorlesung nicht) und diverse Normstriche fehlen oder sind falsch gesetzt.

17.05.2013, 20:49

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
traurig

traurig

okay.... bei dem zweiten fehlen Skalarprodukte und über die Normstriche gucke ich auch nochmal drüber.

Und die Grenzen setzte ich auch noch ein. Werde ich morgen früh dann nochmal posten.

War mir aber noch nicht mal sicher, ob es der Richtige weg war....

17.05.2013, 20:50

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Soweit ich das entziffern und interpretieren kann, stimmt der Weg.

Den Ableitungsstrichh erzeugst du in $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ übrigens mit ', nicht mit `oder ´.

18.05.2013, 11:30

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
also auf eine neues:

wenn dann noch was falsch ist, weiß ich auch nicht weiter.

Aus der Ungleichung von Schwarz und der Standardabschätzung eines Riemann Integrals folgt:

$\begin{eqnarray*} |\int_\gamma \! v \, ds|=|\int_a^b\! <v(\gamma (t))\gamma^\prime(t)> \, dt|\leq\int_a^b\!| v(\gamma (t))||\gamma^\prime(t)| \,dt<br /> \leq max||v(x)||\int_a^b \!|\gamma^\prime(t)|\ dt=max_{x\in \gamma (a,b)}||v(x)||L_\gamma \end{eqnarray*}$

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18.05.2013, 11:48

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
zur a) mit Integrationsgrenzen:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \!(\lambda _1v_1+\lambda _2v_2) \, ds=\int_a^b \![\lambda _1v_1(\gamma (t))+\lambda_2v_2(\gamma (t))]\gamma^\prime (t)\, dt<br /> =\lambda _1\int_a^b \!v_1(\gamma (t))\gamma^\prime(t)dt+\lambda_2\int_a^b \!v_2(\gamma (t))\gamma^\prime(t)dt<br /> =\lambda _1\int_\gamma \!v_1\, ds+\lambda _2\int_\gamma \!v_2\, ds \end{eqnarray*}$

18.05.2013, 11:57

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Das sieht schon besser aus.
Es sind zwar ein paar Norm- und Betragsstriche durcheinandergeraten und in der zweiten Rechnung wurde wieder das Skalarprodukt nicht gekennzeichnet, aber sonst stimmt die Rechnung.

18.05.2013, 12:14

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven

Zitat:

Original von Un-aachen
zur a) mit Integrationsgrenzen:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \!(\lambda _1v_1+\lambda _2v_2) \, ds=\int_a^b \![\lambda _1v_1(\gamma (t))+\lambda_2v_2(\gamma (t))]\gamma^\prime (t)\, dt<br /> =\lambda _1\int_a^b \!<v_1(\gamma (t)),\gamma^\prime(t)>dt+\lambda_2\int_a^b \!<v_2(\gamma (t)),\gamma^\prime(t)>dt<br /> =\lambda _1\int_\gamma \!v_1\, ds+\lambda _2\int_\gamma \!v_2\, ds \end{eqnarray*}$

hmmm okay -.- wo soll denn da jetzt ein Skalarprodukt hin? meinst du bei der a)?
Habe mal einen weiteren Versuch gestartet (siehe Zitat), da ich in meinem Vorlesungsskript zu den Kurvenintegralen so etwas stehen habe:

$\begin{eqnarray*} \int_\delta \! v \, ds= \int_a^b \!<v(\delta(t)), \delta^\prime(t)> \, dt \end{eqnarray*}$ Kurvenintegral von v längs $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$

18.05.2013, 12:21

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Die zwei Skalarprodukte, die du jetzt eingefügt hast, sind richtig.
In der ersten Zeile fehlt aber auch noch eins.
Dort stehen ja auch zwei Vektoren nebeneinander (wobei der erste eine Linearkombination der Vektorfelder ist).

Übrigens: Schöne "Skalarprodukt-Klammern" (spitze Klammern) erhältst du in $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ mit \langle und \rangle.

18.05.2013, 12:56

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
okay.. super vielen vielen lieben Dank smile

smile

18.05.2013, 13:36

CruellaDeVil

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Hallo Zusammen..
wie Funktioniert das denn hier bei?

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma _1+\gamma _2} \!v \, ds = \int_{\gamma_1}\! v \, ds+\int_{\gamma _2} \! v \, ds \end{eqnarray*}$

18.05.2013, 13:38

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Wie ist denn die linke Seite definiert?

18.05.2013, 14:12

CruellaDeVil

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
das heißt, dass die Teilintervalle auch Riemann Integrierbar sind. Und man sie deshalb addieren kann. Oder?

18.05.2013, 14:13

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Intervalle heißen nicht integrierbar und werden nicht addiert verwirrt

verwirrt

Was willst du damit sagen?

18.05.2013, 14:21

CruellaDeVil

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
ich weiß auch nicht wie ich das erklären soll unglücklich

unglücklich

Meinte, dass man die Teilkurven addieren kann....

18.05.2013, 15:38

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Irgendwie brauchst du aber eine formale Definition, so dass du die Aufgabe überhaupt bearbeiten kannst. Was habt ihr euch denn dazu aufgeschrieben?

18.05.2013, 16:00

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
ui hier nimmt mir wohl jemand die Arbeit weg^^ Augenzwinkern

Augenzwinkern

zu der Aufgabe habe ich noch nichts....

Aber schon mal Danke an Che Netzer für die Hilfe

18.05.2013, 21:27

CruellaDeVil

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Ich habe keine Defintion. Und auch keine im Internet gefunden, da ich nicht weiß was ich suchen muss.......

18.05.2013, 21:38

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Ich denke ich habs raus, funktioniert ja alles ähnlich. Poste das morgen früh mal :-)

19.05.2013, 09:43

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Also: wenn $\begin{eqnarray*} \gamma_1:[a,c] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2:[c,b] \end{eqnarray*}$
Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{\gamma_1+\gamma_2} \! v \, ds=\int_{\gamma_1} \!v \, ds + \int_{\gamma_2} \! v \, ds<br /> <br /> <br /> \int_{\gamma_1+\gamma_2} \! v \, ds=\int_a^b \!<v(\gamma (t)), \gamma^\prime(t)> \, dt<br /> =\int_a^c \! <v(\gamma_1(t)),\gamma_1^\prime(t)> \, dt + \int_c^b \! <v(\gamma_2(t)),\gamma_2^\prime(t)> \, dt <br /> =\int_{\gamma_1} \!v \, ds + \int_{\gamma_2} \! v \, ds \end{eqnarray*}$

aus der Definition der Summe $\begin{eqnarray*} \gamma=\gamma_1+\gamma_2 \end{eqnarray*}$

fertig smile

smile

ich hoffe da ist was wahres dran Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2013, 09:46

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven

Zitat:

Original von Un-aachen
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \!<v(\gamma (t)), \gamma^\prime(t)> \, dt<br /> =\int_a^c \! <v(\gamma_1(t)),\gamma_1^\prime(t)> \, dt + \int_b^c \! <v(\gamma_2(t)),\gamma_2^\prime(t)> \, dt \end{eqnarray*}$

Abgesehen vom Vorzeichenfehler: Woher kommt diese Gleichung?
Ich würde da noch einen Zwischenschritt einbauen.

19.05.2013, 09:52

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
man darf die Gleichung nehmen, da $\begin{eqnarray*} \gamma_1,\gamma_2 \end{eqnarray*}$ stückweise stetig differenierbare Kurven sind, so dass der Endpunkt von $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangspunkt von $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$ übereinstimmt. Dann gilt die Wegadditivität und man kann die Teilwege aufsummieren über Zwischenwege.

19.05.2013, 09:56

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Un-aachen
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \!<v(\gamma (t)), \gamma^\prime(t)> \, dt<br /> =\int_a^c \! <v(\gamma_1(t)),\gamma_1^\prime(t)> \, dt + \int_c^b \! <v(\gamma_2(t)),\gamma_2^\prime(t)> \, dt \end{eqnarray*}$

Abgesehen vom Vorzeichenfehler:

habe die zweiten Integrationsgrenzen vertauscht gehabt. Sorry

Ist korrigiert..

19.05.2013, 09:57

Che Netzer

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
Ich hätte halt nur noch kurz etwas wie $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\gamma_1(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in[a,b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\gamma_2(t) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in[c,b] \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben.
Und dann etwas wie das hier:
$\begin{align*} \int_a^b \!\langle v(\gamma (t)), \gamma^\prime(t)\rangle \, dt&=\int_a^c \! \langle v(\gamma(t)),\gamma^\prime(t)\rangle \, dt + \int_c^b \! \langle v(\gamma(t)),\gamma^\prime(t)\rangle \, dt\\&=\int_a^c \! \langle v(\gamma_1(t)),\gamma_1^\prime(t)\rangle \, dt + \int_c^b \! \langle v(\gamma_2(t)),\gamma_2^\prime(t)\rangle \, dt \end{align*}$

19.05.2013, 10:02

Un-aachen

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RE: Vektorfeld und stückweise stet. diffbare Kurven
joa das ließt sich gut^^

Dann werde ich mir das mal aufschreiben smile

smile

Nochmal vielen Dank

Freude

Freude

smile

smile

smile

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