Unterräume eines Vektorraums

17.05.2013, 14:28

MatheNoobii

Unterräume eines Vektorraums

Hallo Leute,

bräuche hier etwas Hilfe bei dieser Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} U_1,U_2,U_3 \end{eqnarray*}$ Unterräume des Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_3 \Rightarrow (U_1 +U_2) \cap U_3 = U_1 + (U_2 \cap U_3) \end{eqnarray*}$
b) Beweisen oder widerlegen Sie: $\begin{eqnarray*} (U_1 +U_2) \cap U_3 = U_1 + (U_2 \cap U_3) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe hier nicht so ganz den Unterschied zwischen a) und b)

Ich hätte jetzt $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_3 \end{eqnarray*}$ als eine Voraussetzung genommen und im Prinzip nur die b) bearbeitet:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in (U_1 +U_2) \cap U_3 \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} x \in U_3 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x = u + v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in U_2 \end{eqnarray*}$ ,
dann ist $\begin{eqnarray*} u \in U_3 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_3 \end{eqnarray*}$ Somit ist auch $\begin{eqnarray*} x-u \in U_3 \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} v \in U_3 \end{eqnarray*}$

Also haben wir: $\begin{eqnarray*} u \in U_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \in U_2 \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} U_3 \end{eqnarray*}$ sprich in $\begin{eqnarray*} U_2 \cap U_3 \end{eqnarray*}$ Und $\begin{eqnarray*} u \in U_1 + v \in (U_2 \cap U_3) = x \in U_1 + (U_2 \cap U_3) \end{eqnarray*}$

Muss ich Aufgabe a) jetzt noch zeigen?

17.05.2013, 16:42

irre.flexiv

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Zitat:

Ich hätte jetzt $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_3 \end{eqnarray*}$ als eine Voraussetzung genommen

Richtig, eine Voraussetzung für a), aber nicht für b). D.h. den folgenden Schritt kannst du in b) so nicht machen:

Zitat:

dann ist $\begin{eqnarray*} u \in U_3 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} U_1 \subseteq U_3 \end{eqnarray*}$

Edit: In Prosa ist er Unterschied zwischen den beiden folgender:
a) Zeige: Wenn X gilt, dann auch Y.
b) Gilt Y vielleicht auch unabhängig davon ob X gilt?

19.05.2013, 10:57

MatheNoobii

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Ah! Dankeschön! smile

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