Abgeschlossenes Intervall offen?

17.05.2013, 17:58

Amplitude

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Abgeschlossenes Intervall offen?

Kurze Frage bezüglich der Offenheit eines geschlossenem Intervall:

Sei (X,d) ein MR und X=R(Reelle Zahlen). Für jedes x aus einer Teilmenge Y (wobei Y element X), muss eine Umgebung vorhanden sein, damit diese offen ist. Das erfüllt keine abgeschlossene Menge. Denn betrachte ich die Randpunkte, so kann ich keine Umgebung finden. Deshalb bin ich der Meinung, dass ein abgeschlossene/halboffenes Intervall nicht offen ist. Ist das richtig? Mir geht es erst einmal nur um das Verständnis! Eventuell auch der Name deshalb, weil er nicht offen ist, sondern abgeschlossen -> Abgeschlossenes Intervall.

mfg

17.05.2013, 18:03

chrizke

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Ja, das ist richtig. Ein abgeschlossenes Intervall ist abgeschlossen und nicht offen...

17.05.2013, 18:10

Amplitude

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Besteht aber der Grund darin, dass ebend die Randpunkte/(der Randpuntk im Falle halboffenes Intervall) keine Umgebung haben können?

17.05.2013, 18:16

Che Netzer

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Zitat:

Original von chrizke
Ja, das ist richtig. Ein abgeschlossenes Intervall ist abgeschlossen und nicht offen...

Nein!
Das gilt nur unter Benutzung der Standardmetrik.
Wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der diskreten Metrik, so ist jedes Intervall sowohl offen als auch abgeschlossen.

17.05.2013, 18:18

chrizke

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Ja natürlich. Auf dem Rand hat man, egal welche offene Umgebung man nimmt, immer auch Punkte außerhalb des Intervalls mit dabei und somit ist es gem. Definition nicht abgeschlossen.

EDIT: Ah stimmt, ich bin hier vom Standardfall ausgegangen.

17.05.2013, 18:27

Amplitude

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Wir haben die Offenheit, Abgeschlossenheit, Kompaktheit und Beschränktheit bei den Vektorräumen behandelt. Ich weiss nicht, was eine Standardmetrik ist und diese wurde auch nicht erwähnt. Ich habe mich jedoch etwas erkundigt und gehe davon aus das ihr die Metrischen Räume meint in denen gilt:

Definitheit, Symmetrie und die Dreiecksgleichung.

Stimmt das ? Bitte nicht so detailliert formulieren, damit ich euch noch folgen kann. Wenn das simmen sollte, ist den nun richtig zu behaupten, dass [5,7] nicht offen ist, da ebend die Randpunkte keine Umgebung haben? Selbstverständlich würde ich das mathematisch formulieren.

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17.05.2013, 18:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von Amplitude
Ich habe mich jedoch etwas erkundigt und gehe davon aus das ihr die Metrischen Räume meint in denen gilt:

Definitheit, Symmetrie und die Dreiecksgleichung.

Ja, ich gehe auch mal davon aus, dass dein "MR" für "metrischer Raum" stehen sollte.

Zitat:

Wenn das simmen sollte, ist den nun richtig zu behaupten, dass [5,7] nicht offen ist

Mit der Standardmetrik, $\begin{eqnarray*} d(x,y)=\lvert x-y\rvert \end{eqnarray*}$ , ist das Intervall nicht offen.
Man kann aber eine Metrik $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} [5,7] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,d) \end{eqnarray*}$ offen ist.

Zitat:

da ebend die Randpunkte keine Umgebung haben?

Jeder Punkt hat eine Umgebung. Die Frage ist aber, ob es eine Umgebung gibt, die in $\begin{eqnarray*} [5,7] \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

Zitat:

Selbstverständlich würde ich das mathematisch formulieren.

Dann tu das auch.

17.05.2013, 18:37

Amplitude

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Das hilft mir mit meinem Wissenstand erst einmal weiter. Vielen dank! So detailiert betrachtet will ich das erst einmal nicht machen. Deshalb gehe ich hier nur vom Standard Metrischen Raum aus.

17.05.2013, 18:39

Guppi12

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Hi Che, rein aus interesse: kennst du noch eine weitere Metrik, in der abgeschlossene Intervalle offen sind(außer der diskreten und ähnlichen, die verschiedenen Punkten den Abstand c>0 zuweisen)?
Bei durch Normen induzierte Metriken dürfte das ja prinzipiell nicht der Fall sein oder?

17.05.2013, 18:45

Che Netzer

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Ich schicke dir mal eine PN, da diese Frage für Amplitude wahrscheinlich zu detailliert ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.05.2013, 18:48

Amplitude

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Nein. Ganz im Gegenteil. Beispiele zur Offenheit von abgeschlossenen Intervallen würde mich sehr interessieren. Also wäre es sehr lieb hier zu antworten.

17.05.2013, 18:58

Che Netzer

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Hm, ich stelle gerade fest, dass in meinem Beispiel aus der PN ein kleiner Fehler steckt...

17.05.2013, 19:05

Che Netzer

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Hier eine korrigierte und öffentliche Version:

Zitat:

wenn die Metrik durch eine Norm induziert ist, sind Intervalle der Form $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ tatsächlich nie offen.
Allerdings sind die einzigen Normen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Vielfache der Betragsfunktion...
Überhaupt sind zwei Normen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum immer äquivalent, d.h. sie induzieren dieselbe Topologie.

Wenn man eine Metrik sucht, bezüglich der alle Intervalle der Form $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ offen sind, dann muss mindestens folgende Eigenschaft erfüllt sein:
Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} c_x>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} d(x,y)\geq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\neq x \end{eqnarray*}$ .
Du kannst aber mal folgende Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ansehen:
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\frac1k \end{eqnarray*}$
für das ~~kleinste~~ größte $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , welches $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert,\lvert y\rvert\geq k \end{eqnarray*}$ erfüllt (und $\begin{eqnarray*} \color{green}k=1 \end{eqnarray*}$ , falls einer der Beträge kleiner Eins ist), falls $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(x,x)=0 \end{eqnarray*}$ .
Symmetrie und positive Definitheit sind klar.
Die Dreiecksungleichung:
Wenn $\begin{eqnarray*} x,y,z\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind (nur der Fall ist interessant) und $\begin{eqnarray*} d(x,y)=\frac1k \end{eqnarray*}$ , dann heißt das $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert\geq k \end{eqnarray*}$ und dieses $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist ~~minimal~~ maximal gewählt.
Wenn man jetzt ein (~~minimales~~ maximales) $\begin{eqnarray*} \tilde k \end{eqnarray*}$ sucht, das dies und außerdem $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert\geq\tilde k \end{eqnarray*}$ erfüllt, dann muss $\begin{eqnarray*} \tilde k\not{\!\color{red}\geq}{\color{green}\leq} k \end{eqnarray*}$ sein, also
$\begin{eqnarray*} d(x,y)=\frac1k\leq\frac1{\tilde k}=d(x,z)\leq d(x,z)+d(y,z)\,. \end{eqnarray*}$

Wenn ich gerade nichts übersehe ist auch bezüglich dieser Metrik jedes $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ offen (die Metrik ist lokal ein Vielfaches der diskreten Metrik), aber $\begin{eqnarray*} d(k,k+1)\to0 \end{eqnarray*}$ – d.h. es existiert kein globaler Mindestabstand.

Edit: Eine Verallgemeinerung:
Es sei $\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to(0,\infty) \end{eqnarray*}$ gegeben.
Man definiere für $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d(x,y):=\begin{cases}\max\bigl(f(x),f(y)\bigr)&x\neq y\\0&x=y\,.\end{cases} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ eine Metrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , bezüglich der jedes Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ offen ist.

17.05.2013, 19:12

Guppi12

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Den ersten Fehler hab ich glatt überlesen Big Laugh

Big Laugh

Hätte sonst wenig Sinn gemacht.
An der Stelle $\begin{eqnarray*} \tilde k \geq k \end{eqnarray*}$ bin ich aber deswegen erstmal nicht weitergekommen.

Vielen Dank für das Beispiel. Das ist eine ziemlich abgefahrene Metrik. Ist vielleicht ganz gut, wenn man sowas in der Art mal für ein Gegenbeispiel oder so parat hat. Und auch interessant zu sehen, was man alles aus dem eigentlich "so gut bekannten" Raum machen kann, wenn man die Topologie verändert.

Liebe Grüße,
Guppi12

17.05.2013, 19:17

Guppi12

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Edit: Hab Mist gepostet.

17.05.2013, 19:18

Che Netzer

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Ich habe gerade auch eine Verallgemeinerung hineineditiert.

Im Spezialfall zuvor würde man dann $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac1{\lfloor x\rfloor} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert\geq1 \end{eqnarray*}$ wählen und Eins sonst.

Die Dreiecksungleichung zeigt sich dann auch hübscher:
$\begin{align*} \max\bigl(f(x),f(y)\bigr)&\leq\max\bigl(f(x),f(y),f(z)\bigr)\\&=\max\Bigl(\max\bigl(f(x),f(z)\bigr),\max\bigl(f(y),f(z)\bigr)\Bigr)\\&\leq\max\bigl(f(x),f(z)\bigr)+\max\bigl(f(y),f(z)\bigr)\,. \end{align*}$

17.05.2013, 19:22

Guppi12

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Ah, das ist in der Tat eine schöne Klasse von Metriken.
Danke für die Mühe Freude

Freude

17.05.2013, 19:26

Che Netzer

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Und die kann man sogar auf beliebigen Räumen definieren; nicht nur auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ smile

smile

Topologisch gesehen sind die aber nicht sehr spektakulär; die induzieren einfach die diskrete Topologie.
Allerdings kann man damit auf jedem unendlichen Raum eine unvollständige Metrisierung der diskreten Topologie finden.

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