Satz von Rolle

17.05.2013, 18:03

Theend9219

Satz von Rolle

Ich habe eine Frage zu folgendem Satz:

Satz von Rolle: Ist $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) \end{eqnarray*}$ , so existiert ein $\begin{eqnarray*} \psi \in [a,b] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f'(\psi) = 0 \end{eqnarray*}$ . Vorrausgesetzt $\begin{eqnarray*} f: [a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und auf $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

So nun meine Frage:
Der Satz besagt ja, das in einem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ eine Funktion exisitert, die an dem Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als auch an dem Punkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ den gleichen Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ erhält. Ist ja denn also etwas surjektives. Dann existiert ja da eine Tangente in dem Punkt dessen Ableitung 0 ist.
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sagt der Satz jetzt nicht mehr aus als das zwischen zwei Nullstellen einer Funktion eine Ableitung existiert die 0 ist? und das diese Tangente existiert? Wo braucht man das denn in der Praxis?

Liebe Grüße

17.05.2013, 18:08

Amplitude

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Allgemein: Manchmal ist es nur wichtig zu wissen, ob eine Nullstelle in einem Intervall vorhanden ist oder nicht!

17.05.2013, 18:11

Theend9219

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Achsoooo okay danke... und wovon unterscheidet sich das mit dem Mittelwertsatz? Der sagt dann einfach nur das da eine Ableitung existiert oder??

17.05.2013, 18:14

Che Netzer

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RE: Satz von Rolle

Zitat:

Original von Theend9219
Der Satz besagt ja, das in einem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ eine Funktion exisitert, die an dem Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ als auch an dem Punkt $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ den gleichen Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ erhält.

Nein, eine solche Funktion ist in dem Satz als gegeben vorausgesetzt.

Zitat:

Ist ja denn also etwas surjektives.

Was soll das mit Surjektivität zu tun haben?

Zitat:

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, sagt der Satz jetzt nicht mehr aus als das zwischen zwei Nullstellen einer Funktion eine Ableitung existiert die 0 ist?

Nein, er sagt aus, dass es zwischen zwei gleichen Funktionswerten eine Stelle mit verschwindender Ableitung gibt.

Zitat:

und das diese Tangente existiert?

Eine Tangente an einem Punkt existiert immer, wenn die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist.

Zitat:

Wo braucht man das denn in der Praxis?

Zum Beispiel beweist man damit den Mittelwertsatz.

17.05.2013, 18:15

chrizke

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Naja hilfreich ist das, wenn man algorithmisch nach Extremwerten sucht, indem man das Suchintervall stück für stück verkleinert.
So kann man herausfinden, ob es in einem Intervall überhaupt einen Kandidaten für ein Extremum gibt und man dort weitersuchen muss.

Den Mittelwertsatz kann man, wenn ich das richtig im Kopf habe, mit dem Satz von Rolle beweisen.

Hier geht es viel weniger um die Existenz der Ableitung, die setzt man voraus, sondern eher um die Existenz gewisser Steigungen.

17.05.2013, 18:17

Guppi12

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Edit: 2 Helfer sollten reichen, ich ziehe mich zurück Augenzwinkern

17.05.2013, 18:17

Theend9219

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RE: Satz von Rolle
Hallo Che Netzer,

Entschuldigung ich habe da etwas mit der Surjektivität verwechselt. Natürlich nicht weil ja kein einzelnes x auf 2 Funktionswerte aus dem Zielbereich geschickt wird sondern ein Funktionswert auf 2 Werte des Definitionsbereiches.

Wie definierst du denn verschwindene Ableitung?

Danke, Stimmt das für den Beweis des Mittelwertsatzes hab ich auch gelesen

LG

17.05.2013, 18:21

Che Netzer

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RE: Satz von Rolle
Mit "verschwindet" meint man "ist Null".
D.h. eine verschwindende Ableitung ist eine Ableitung, die Null ist.

17.05.2013, 18:24

Theend9219

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RE: Satz von Rolle
Okay, vielen Dank Che Netzer.

LG

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