Zweig des log

17.05.2013, 18:29

h4mmer

Zweig des log

Hallo zusammen,

Sei $\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb C\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Gebiet.

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zweig des Logarithmus $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich folgendes Gebiet betrachten:

$\begin{eqnarray*} G_k=\mathbb C\setminus \left\{i^k(\frac 1 {\sqrt 2}(i+1))\cdot x < x\in (-\infty,0]\right\} \end{eqnarray*}$

mit den Zweigen $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ .

Nun soll ich $\begin{eqnarray*} f_k(i), k=1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ betrachte, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit einen "Schlitz", nämlich der Winkelhalbierenden des 2. Quadrantens.

Habe ich daher eine Verschiebung zum Hauptzweig des Logarithmus um $\begin{eqnarray*} \frac 34\pi \end{eqnarray*}$ ?

Gilt also:

$\begin{eqnarray*} exp(f_1(i))=i \Leftrightarrow f_1(i)=log(e^{\frac 14 \pi i+\frac 34 \pi i})=log(e^{\pi i})=i\pi \end{eqnarray*}$

MfG

17.05.2013, 18:41

Theend9219

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RE: Zweig des log
.

17.05.2013, 18:45

HAL 9000

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@h4mmer

Es ist wohl angebracht, einige Korrekturen anzubringen.

1.Die hier ist nur symbolischer Art, um jegliche Verständnismissverständnisse auszuräumen:

$\begin{eqnarray*} G_k = \mathbb{C}\setminus \left\{ i^k\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(i+1) \right)\cdot x ~{\color{red}\Bigm|}~ x\in (-\infty,0]\right\} \end{eqnarray*}$

2.Wenn ich mir das so anschaue, dann verläuft der Schlitz bei $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ nicht im 2., sondern im 4.Quadranten! Oder hast du dich verschrieben und meinst in der obigen $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ -Definition statt $\begin{eqnarray*} x\in (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ dann doch das irgendwie gewohntere $\begin{eqnarray*} x\in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

3.Du forderst sicher noch, dass $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} G_k \end{eqnarray*}$ holomorph ist, und außerdem $\begin{eqnarray*} f_k(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ für reelle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ? Andernfalls wäre ja kaum was zu tun in der Aufgabe, und außerdem sollte $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ ja auch eindeutig definiert sein, oder nicht? Augenzwinkern

--------------------------------------------

Zur Lösung: Du könntest dein Argument erstmal geschickt "drehen", so dass der Ausschlussstrahl auf der negativen reellen Achse landet - also dem üblichen Trennstrahl für den Hauptwert des Logarithmus. Dann auf dieses gedrehte Argument den Hauptwert-Logarithmus anwenden und den Drehwinkel korrigieren. In Formeln:

$\begin{eqnarray*} f_k(z) = \ln\left( e^{i\varphi_k}z \right) - i\varphi_k \end{eqnarray*}$

mit "geeignet" gewählten Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ .

17.05.2013, 22:20

h4mmer

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Vielen Dank für die Hilfe,

Ich hatte ein paar krasse Denkfehler in meine Überlegungen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$ ist holomorph und auch eindeutig, das folgt aus einem Satz aus der Vorlesung.

Und aus der Def

Zitat:

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zweig des Logarithmus $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} f_k(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich werde meine Ergebnisse morgen posten, es soll ausserdem noch $\begin{eqnarray*} f_k(-1) \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.
Vielleicht könntest du dann nochmals drüberschauen.

Nochmal vielen Dank für deine Hilfe,
MfG

17.05.2013, 23:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von h4mmer
Und aus der Def

Zitat:

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zweig des Logarithmus $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} f_k(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Nein, daraus allein folgt das nicht: Z.B. erfüllt

$\begin{eqnarray*} f_k(z) = \ln(z) + 2\pi i \end{eqnarray*}$

ebenfalls die Bedingung $\begin{eqnarray*} \exp(f_k(z)) = z \end{eqnarray*}$ . Ich hab mir schon was gedacht bei Anmerkung 3 und bitte dich, sie nicht so leichtfertig abzutun.

19.05.2013, 12:31

h4mmer

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Hallo HAL 9000,

Nochmal zur Eindeutigkeit:

Die Definition des Hauptzweigs aus der Vorlesung (und ich denke auch jene, mit der du arbeitest) besagt:

$\begin{eqnarray*} \log: \mathbb C\setminus \left\{(-\infty ,0]\right\} \to \left\{z\in \mathbb C : |Im(z)|<\pi \right\} \end{eqnarray*}$

Also ist er eindeutig.

Zur Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f_1(i)=\log(e^{i\frac \pi 2-i\frac 5 4\pi})=\log(e^{-i\frac 3 4 \pi })=-i\frac 3 4 \pi \end{eqnarray*}$

Ich hätte ja auch anstatt den "Schlitz" des Hauptzweigs in negativer Richtung um $\begin{eqnarray*} \frac 5 4 \pi \end{eqnarray*}$ in positiver Richtung um $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \pi \end{eqnarray*}$ drehen können.

Dann würde aber $\begin{eqnarray*} |Im(z)|>\pi \end{eqnarray*}$ gelten, also müsste ich $\begin{eqnarray*} 2 \pi i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ abziehen.
Habe ich das richtig verstanden?

$\begin{eqnarray*} f_2(i)=\log(e^{i\frac \pi 2-i\frac 3 4\pi})=\log(e^{-i\frac \pi 4})=-i\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(-1)=\log(e^{i\pi-i\frac 5 4 \pi})=-i\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$

Viele Grüße

21.05.2013, 15:11

HAL 9000

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Ich habe mich nicht auf die Definition des Hauptzweiglogarithmus bezogen - irgendwie sinnlos, dass du die hier anbringst.

Sondern ausdrücklich auf deine obige Charakterisierung eines auf das Gebiet $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ zugeschnittenen Logarithmus gemäß

Zitat:

Original von h4mmer
Sei $\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb C\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Gebiet.

Dann ist $\begin{eqnarray*} f: G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zweig des Logarithmus $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$ .

Und die ist eben NICHT eindeutig, selbst wenn man (wie ich annehme) Holomorphie auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ fordert:

Denn mit $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ erfüllen auch alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f(z)+2k\pi i \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann diese Bedingung $\begin{eqnarray*} \exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$ . Darauf, und nur darauf bezog sich meine Anmerkung - war das nun endlich deutlich genug?

P.S.: Ich vermisse auch immer noch eine Reaktion auf meine Anmerkung 2.

Zitat:

Original von h4mmer
$\begin{eqnarray*} f_2(i)=\log(e^{i\frac \pi 2-i\frac 3 4\pi})=\log(e^{-i\frac \pi 4})=-i\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(-1)=\log(e^{i\pi-i\frac 5 4 \pi})=-i\frac \pi 4 \end{eqnarray*}$

Beides falsch im Sinne der Aufgabe, denn die Forderung $\begin{eqnarray*} \exp(f_k(z))=z \end{eqnarray*}$ wird hier offenkundig nicht erfüllt:

$\begin{eqnarray*} \exp(f_2(i)) \stackrel{?}{=} \exp\left(-i\frac \pi 4 \right) = \frac{1-i}{\sqrt{2}} \neq i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \exp(f_1(-1)) \stackrel{?}{=} \exp\left(-i\frac \pi 4 \right) = \frac{1-i}{\sqrt{2}} \neq -1 \end{eqnarray*}$

21.05.2013, 18:40

h4mmer

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Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb C\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Gebiet.Dann ist $\begin{eqnarray*} f: G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zweig des Logarithmus $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$ .

Und die ist eben NICHT eindeutig, selbst wenn man (wie ich annehme) Holomorphie auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ fordert: Denn mit $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ erfüllen auch alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f(z)+2k\pi i \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligem $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dann diese Bedingung $\begin{eqnarray*} \exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$ . Darauf, und nur darauf bezog sich meine Anmerkung - war das nun endlich deutlich genug?

So müsste es dann stimmen:

$\begin{eqnarray*} G\subset \mathbb C\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ ein Gebiet.Dann ist $\begin{eqnarray*} f: G\to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Zweig des Logarithmus, falls $\begin{eqnarray*} exp(f(z))=z \end{eqnarray*}$

In unserer Definition wir f als stetig vorrausgesetzt, also ist f holomorph.

Zitat:

P.S.: Ich vermisse auch immer noch eine Reaktion auf meine Anmerkung 2.

Mein Fehler, wir befinden uns für j=1 im 4. Quadranten.

Zitat:

Zur Lösung: Du könntest dein Argument erstmal geschickt "drehen", so dass der Ausschlussstrahl auf der negativen reellen Achse landet - also dem üblichen Trennstrahl für den Hauptwert des Logarithmus. Dann auf dieses gedrehte Argument den Hauptwert-Logarithmus anwenden und den Drehwinkel korrigieren.

In Formeln: $\begin{eqnarray*} f_k(z) = \ln\left( e^{i\varphi_k}z \right) - i\varphi_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(i)=\log(e^{i*(\frac \pi 2-\frac 3 4 \pi)})+i\frac 3 4 \pi=i\frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

MfG

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