kompakte Teilmenge

17.05.2013, 19:43

hayabusa

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kompakte Teilmenge

Meine Frage:
ist die folgende menge kompakt
$\begin{eqnarray*} A=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2 |e^{x} +e^{y} <5\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich würde nein sagen da die Menge nicht von unten beschränkt ist, bin mir aber nicht so sicher da ich erst neu in diesen thema bin

17.05.2013, 19:48

Che Netzer

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RE: kompakte Teilmenge
Was verstehst du denn unter "von unten beschränkt" für Mengen im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ?

(die Idee ist aber richtig)

17.05.2013, 19:57

hayabusa

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ist ja schonmal ein Anfang smile

smile

mit nicht von unten beschränkt meine ich, dass ich sehr große negative tupel einsetzen kann z.b (-100,-100)
wie ich das mathematisch korrekt ausdrücken soll, bin ich mir ncht so sicher ?)

17.05.2013, 19:59

Che Netzer

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Was sollen denn "sehr große negative Tupel" sein? verwirrt

verwirrt

Negative Vektoren/Tupel gibt es nicht.
Argumentiere lieber anders, dass die Menge unbeschränkt ist.

17.05.2013, 20:02

hayabusa

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würde es über eine grenzwert betrachtung gehen also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } e^{x} +\lim_{y \to -\infty } e^{y} =0 \end{eqnarray*}$

17.05.2013, 20:11

Che Netzer

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Und dann?

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18.05.2013, 09:38

hayabusa

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hm jetzt steh ich aufm schlauch

dachte das wär ein beweis das es keine untere grenze und somit nicht beschränkt ist

oder bin ich jetzt ganz aufm holzweg verwirrt

verwirrt

18.05.2013, 09:48

Che Netzer

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Das geht wie gesagt in die richtige Richtung.
Aber was soll eine untere Grenze sein?

Beachte, dass du im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ bist.

18.05.2013, 10:01

hayabusa

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RE: kompakte Teilmenge
jetzt nur nochmal zum verständnis

$\begin{eqnarray*} A=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2 |e^{x} +e^{y} <5\right\}=]-\infty ;ln(2)] \times ]-\infty ;ln(2)] \end{eqnarray*}$

seh ich das richtig ?

18.05.2013, 10:03

hayabusa

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meinte natürlich ln (5) : D

18.05.2013, 10:04

Che Netzer

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RE: kompakte Teilmenge
Nein. Sonst müsste ja $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{\ln5}+\mathrm e^{\ln 5}=5+5<5 \end{eqnarray*}$ sein.
WolframAlpha kann dir auch ein Bild ausgeben.

18.05.2013, 10:37

hayabusa

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ah danke

smile

Die Definition der unbeschränktheit(im 1-Dimensionalen Fall?) lautet ja :

Für alle Element a aus A gibt es ein k>0, so dass gilt

$\begin{eqnarray*} | a | > k \end{eqnarray*}$

da dacht ich dass ich einfach ein $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$ finden soll

aber langsam denk ich, dass das so nicht geht

18.05.2013, 10:42

hayabusa

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registriert dass ich meine beiträge verbessern kann

meinte natürlich für alle k>0 gibt es ein a aus A so dass gilt

|a|>k

edit: bloss wenn ich jetzt so darübernachdenke bin ich die ganze zeit von der 1. variante ausgegangen

18.05.2013, 10:46

Che Netzer

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Zitat:

Original von hayabusa
meinte natürlich für alle k>0 gibt es ein a aus A so dass gilt

|a|>k

Und ganz ähnlich ist das im Mehrdimensionalen.
Wie habt ihr denn dort (Un-)Beschränktheit definiert?

18.05.2013, 10:59

hayabusa

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und da liegt das problem in meinen Aufzeichnugen find ich nix davon : D

edit: alles klar dank google bin ich drauf gekommen

also wenn die norm aller element aus aus A kleiner als k>0 ist, ist die menge beschränkt

d.h da in meiner menge der tupel

" $\begin{eqnarray*} \left(-\infty |-\infty \right) \end{eqnarray*}$ " der die norm $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hat, enthalten ist ist die menge unbeschränkt

18.05.2013, 11:02

Che Netzer

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Wenn ihr Beschränktheit nicht allgemein definiert habt, kannst du die Kompaktheit auch nicht mit Unbeschränktheit widerlegen.
Welche Aussagen über Kompaktheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ habt ihr denn aufgeschrieben? Und wie habt ihr sie definiert?

18.05.2013, 11:26

hayabusa

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mich würde dennoch interessieren ob die lösung die ich im beitrag editiert hab richtig ist
(war leider schon während deiner antwort beim editieren )

Zitat:

Original von hayabusa
und da liegt das problem in meinen Aufzeichnugen find ich nix davon : D

edit: alles klar dank google bin ich drauf gekommen

also wenn die norm aller element aus aus A kleiner als k>0 ist, ist die menge beschränkt

d.h da in meiner menge der tupel

" $\begin{eqnarray*} \left(-\infty |-\infty \right) \end{eqnarray*}$ " der die norm $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ hat, enthalten ist ist die menge unbeschränkt

18.05.2013, 11:58

Che Netzer

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Dieses $\begin{eqnarray*} (-\infty\vert-\infty) \end{eqnarray*}$ ist kein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , ist also auch nicht in deiner Menge enthalten.

Die Norm nimmt nur endliche Werte an.

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